Dispense

1.5. APPROFONDIMENTI SUI VETTORI ALEATORI 103
Per dimostrare (ii), scriviamo il vettore Le1 nella base e1; :::; en: ei è il vettore
l’applicazione L è rappresentata da Qe, quindi Le1 è uguale a
0 1
1
B
Qe B 0 C
@ ::: A
0
=
0
B
@
1
0
:::
1
C
A
0
= 0 1
1
B 0 C
1 @ ::: A
0
che è 1e1 nella base e1; :::; en. Abbiamo veri…cato che Le1 = 1e1, cioè che 1 è un autovalore
e che e1 è il corrispondente autovettore. La dimostrazione per 2, ecc. è la stessa.
Per dimostrare (iii), basta osservare che, nella base e1; :::; en,
Ma
e T j Qeej = j:
e T j Qeej = e T j UQU T ej = v T Qv 0
dove v = U T ej, avendo usato la proprietà che Q è de…nita non-negativa. Quindi j 0.
1.5.4 Vettori gaussiani
Ricordiamo che una v.a. gaussiana o normale N ; 2 è una v.a. con densità di probabilità
1
f (x) = p
2 2 exp
jx j 2
2 2
!
:
Si dimostra che è la media e 2 la varianza. La normale standard è il caso = 0, 2 = 1.
Se Z è una normale standard allora + Z è N ; 2 , ed ogni gaussiana N ; 2 si può
scrivere nella forma + Z con Z N (0; 1).
Si può dare la de…nizione di vettore gaussiano, o gaussiana multidimensionale, in più
modi, generalizzando o l’espressione per la densità oppure la proprietà che + Z è una
N ; 2 . Vediamoli entrambi e la loro equivalenza (valida sotto una certa ipotesi).
De…nizione tramite trasformazione lineare di un vettore normale standard
De…nizione 30 i) Chiamiamo vettore normale standard in d dimensioni un vettore aleatorio
Z = (Z1; :::; Zd) con densità congiunta
f (z1; :::; zd) =
dY
i=1
1
p 2 e z2 i 2 =
1
q
(2 ) d
e z2 1 +:::+z2 d
2 :
ii) Tutti gli altri vettori gaussiani X = (X1; :::; Xn) (in dimensione generica n) si ottengono
da quelli standard tramite le trasformazioni a¢ ni:
X = AZ + b
0
B
@
1
0
:::
0
1
C
A ,