Dispense

3.2. PROCESSI STAZIONARI 159
Qui, tra l’altro, vediamo per la prima volta il motivo dell’ipotesi j j < 1 fatta all’inizio.
Supponendo 2 0
= 2
1 2 troviamo
2
1 = 2
2
1 2 + 2 2
=
1 2 = 2 0
e così via, 2 n+1 = 2 n per ogni n 0, cioè la funzione varianza è constante. Ricordiamo che
questo è solo un sintomo della stazionarietà. La de…nizione di stazionarietà si riferisce alla
media ed alla funzione R (t; s).
Esercizio 25 (continuazione) Veri…chiamo …almente che R (t + n; t) non dipende da t,
2
imponendo ovviamente la condizione 2
0 = 1 2 , altrimenti non c’è speranza di avere la
stazionarietà (in quanto essa implica che la varianza deve essere costante). Vale
che è indipedente da t;
e così via,
R (t + 1; t) = E [( Xt + Wt) Xt] =
2 n =
R (t + 2; t) = E [( Xt+1 + Wt+1) Xt] = R (t + 1; t) =
1
1
2
2
2 2
R (t + n; t) = E [( Xt+n 1 + Wt+n 1) Xt] = R (t + n 1; t)
= ::: = n R (t; t) =
1 2
che è indipedente da t. Quindi il processo è stazionario ed abbiamo anche scoperto che
Inoltre
R (n) =
1
n 2
n 2
(n) = n :
Il coe¢ ciente di autocorrelazione decade esponenzialmente in t.
3.2.1 Processi de…niti anche per tempi negativi
Possiamo estendere un po’ le precedenti de…nizioni e chiamare processo a tempo discreto
anche una successione bilaterale di v.a. (Xn) n2Z , de…nita per tempi anche negativi. L’idea
intuitiva è quella che il processo (…sico, economico ecc.) che stiamo esaminando non inizia
ora, al presente, ad esistere ma è attivo da molto tempo, nel lontano passato.
Questa nozione risulta particolarmente naturale per i processi stazionari. In tal caso la
funzione R (n) (e così C (n) e (n)) è de…nita anche per n negativi:
Per la stazionarietà,
2 :
R (n) = E [XnX0] ; n 2 Z:
R ( n) = R (n)
in quanto R ( n) = E [X nX0] = E [X n+nX0+n] = E [X0Xn] = R (n). Vediamo quindi
che questa estensione non contiene molta informazione nuova; tuttavia ogni tanto è utile e
sempli…ca alcuni calcoli.
2