Dispense

310 CAPITOLO 5. SISTEMI MARKOVIANI
Esaminiamo un caso più di¢ cile. Supponiamo che dalle osservazioni sperimentali emerga
come plausibile o opportuna una densità f(x) di tipo esponenziale:
f(x) =
e x per x 0
0 per x < 0 :
Se tentiamo di seguire la strada precedente dobbiamo calcolare log f(x) che non ha senso per
x < 0. Questo fa venire in mente un altro problema: la scelta costante non può funzionare
in quanto l’equazione di¤erenziale produrrebbe inevitabilmente delle traiettorie ogni tanto
negative, e questo sarebbe incompatibile con una densità f concentrata sui numeri positivi.
Quindi la strategia di costante non va più bene. Questo è il motivo per cui non abbiamo
scelto costante sin dall’inizio, anche se questo avrebbe sempli…cato molti passaggi.
Prendiamo allora una funzione (x) che tende a zero per x ! 0 + , in modo che l’e¤etto
del moto browniano svanisca quando ci si avviciana all’origine. Per ora prendiamo
(x) = x .
Allora considerando l’equazione solo per x > 0, dove
(x) =
calcoliamo 2b (x) = d
dx 2 (x) + (x) 2 (x), ovvero
Prendiamo ad esempio = 1
2 :
L’equazione è
dx(t) =
b (x) = 2 2 1
x
2
2
(x) = p x
b (x) =
2
2
2
2
2
2 x:
2 x 2 :
2 x(t) dt + p x(t)dB(t):
E’interessante simularla con R. Lo schema di Eulero esplicito per questa equazione è
x[k + 1] = x[k] + 0:5 sigma^2 h
0:5 lambda sigma^2 x[k] h
+ sigma sqrt(h x[k]) rnorm(1; 0; 1):
Purtroppo c’è un problema numerico: anche se in teoria la soluzione sta sempre nel semiasse
positivo, discretizzando può capitare che un incremento del moto browniano la portino
nel semiasse negativo ed in tal caso il termine sqrt(h x[k]) non sarebbe ben de…nito. Il
modo giusto di risolvere questo problema consisterebbe nello scrivere un codice più accurato
di Eulero esplicito, a passo variabile, che abbrevia il passo se si supera lo zero. Per i nostri