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130 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI STATISTICA
Esempio 64 Altro esempio di H1: il ritardo medio è 6= 5.
Lo schema matematico formato dalle due ipotesi complementari (rispetto ad un certo
universo di possibilità) H0 e H1 appare simile a quello della teoria delle decisioni: sulla base
di alcune osservazioni sperimentali, dobbiamo decidere se vale H0 oppure H1.
Tuttavia, nella teoria delle decisioni le due ipotesi vengono considerate allo stesso livello,
in modo simmetrico, e la decisione di conclude con una scelta tra le due: o vale l’una o vale
l’altra.
Invece, nella teoria dei test statistici, il ruolo di H0 ed H1 è asimmetrico. H0 può solo
essere ri…utata o non ri…utata, non possiamo arrivare ad una conclusione del tipo: “H0 è
vera”.
Per capire meglio in che senso c’è simmetria nella teoria delle decisioni, ricordiamone
alcuni elementi nel caso della teoria bayesiana. Si ha un universo , una partizione (Bk) e si
deve prendere una decisione circa quale degli eventi Bk sia vero.
Supponiamo che gli eventi Bk in‡uenzino qualcosa che possiamo osservare, diciamo l’evento
A. Si pensi per esempio che Bi siano le possibili cause, A e A c le possili conseguenze.
La regola di decisione bayesiana è semplicemente: si sceglie la causa più probabile, condizionata
al fatto che A si è avverato.
Per la formula di Bayes
P (BijA) = P (AjBi) P (Bi)
P
k P (AjBk) P (Bk) :
Il demoninatore è uguale per tutti, quindi basta massimizzare il numeratore:
B opt
i
:= arg maxP
(AjBi) P (Bi) :
Bi
Se decidiamo che a priori le diverse possibilità Bi sono equiprobabili (assenza di pregiudizi)
troviamo semplicemente
B opt
i
:= arg maxP
(AjBi) :
Bi
Le probabilità P (AjBi) sono simili a dei p-values, se si prende come evento A l’evento “la
test statistic assume valori più estremi di quello osservato”, e come Bi le due diverse ipotesi
del test. Allora
p-value = P (AjH0) :
Ma mentre in teoria delle decisioni calcoleremmo anche P (AjH1) e sceglieremmo tra le due
alternative sulla base del valore più grande delle due probabilità, nella teoria dei test calcoliamo
solo P (AjH0) e ri…utiamo l’ipotesi H0 se questa probabilità (il p-value) è molto piccola,
in genere più piccola di 0.05. Se non è piccola, non confrontiamo con 0.5 come si farebbe in
teoria delle decisioni; concludiamo semplicemente che non c’è evidenza per ri…utare H0.