Dispense

270 CAPITOLO 5. SISTEMI MARKOVIANI
temi aleatori di attesa negli stati, a piacere. Un altro modo di introdurre il tempo di attesa in
uno stato è quello di usare i processi a salti della prossima sezione: si introducono degli orologi
aleatori, associati a tutte le transizioni possibili, che “suonano” dopo un tempo aleatorio di
caratteristiche statistiche date, provocando la relativa transizione nell’istante in cui suonano
(poi vanno azzerati tutti e riavviati).
5.1.2 Misure invarianti
De…nizione 49 Relativamente ad una catena data, cioè ad una matrice di transizione P
su un insieme di stati S, una misura invariante (detta anche distribuzione di probabilità
invariante, o stazionaria) è un vettore
di numeri i 2 [0; 1], con
= ( i) i2S
P
i2S i = 1, tale che
Vale equivalentemente
= P:
= P n per ogni n 2 N.
Per questo si dicono invarianti (o stazionarie, o di equilibrio): se il sistema parte al tempo zero
con la distribuzione di probabilità , lo troviamo successivamente nei vari stati sempre con
la stessa probabilità (infatti P n è la distribuzione di probabilità al tempo n). Non signi…ca
ovviamente che lo stato resti sempre lo stesso: il sistema transisce da uno stato all’altro ma
occupa il generico stato i sempre con la stessa probabilità i.
L’interesse per queste distribuzioni non è però legato al fatto di partire da esse al tempo
zero ma di convergere verso di loro quando il tempo tende all’in…nito. Si sta pensando
alla situazione comune a tanti sistemi reali in cui c’è un transitorio dopo di cui si passa, al
limite, ad un regime stazionario. Bene: le distribuzioni stazionarie dovrebbero descrivere il
regime stazionario, quello che si osserva dopo che è passato un po’di tempo. Ad esempio:
all’apertura di una banca c’è un momento iniziale di sovra¤ollamento causato dalla gente che
attedeva l’apertura all’esterno. Dopo un certo numero di minuti però quel tra¢ co iniziale è
stato smaltito e l’a¤ollamento della banca diventa quello a regime, in cui entrano ed escono
persone in modo casale ma statisticamente regolare. Se pensiamo che Xn descriva il numero
di persone in banca al tempo n, passato il transitorio, questo numero non è costante, ma la
probabilità che valga i lo è (all’incirca).
Sotto ipotesi opportune che non possiamo discutere in questo momento vale
lim
n!1 p(n) = :
Qunado questo vale, si dice che c’è convergenza all’equilibrio. I teoremi che garantiscono
questo fatto vengono detti teoremi ergodici.
Nota per gli esercizi. Le misure invarianti si possono calcolare algebricamente risolvendo
l’equazione = P . Tuttavia, è utile e istruttivo arrivare ad un sistema di equazioni che
permette il calcolo di per via gra…ca, col metodo detto del bilancio di ‡usso (naturalmente