Dispense

4.3. IL METODO DI HOLT-WINTERS 219
4.3.2 Metodo di Smorzamento Esponenziale con Trend (SET)
Indichiamo sempre con x (t) il dato storico al tempo t e con p (t) la previsione relativa al tempo
t. L’idea ora è di avere un comportamento rettilineo (trend lineare), almeno localmente. Se
siamo al tempo t, il presente, la previsione dei valori futuri p (t + 1), p (t + 2), ecc., in generale
p (t + i), con i = 1; 2; ecc. decisiamo che sia data dalla formula
p (t + i) = m (t) i + s (t)
(equazione della retta di coe¢ ciente angolare m (t) ed intercetta s (t). E’utile pensare che
l’asse delle ordinate sia collocato al tempo t, per farsi un’idea gra…ca.
L’idea di far dipendere m e s dal tempo è basilare: vogliamo sì una previsione con trend
lineare, ma dobbiamo poterla modi…care nel tempo, se il trend cambia.
Mentre nel metodo precedente legavamo i valori futuri di p a quelli passati, ora leghiamo
i valori futuri delle grandezze ausiliarie m ed s a quelli passati. Continuiamo ad usare una
logica di media pesata tra un valore conservativo ed uno innovativo. Per il oe¢ ciente angolare
m la prima idea che viene in mente è
m (t) = (x (t) x (t 1)) + (1 ) m (t 1)
media pesata tra il valore conservativo m (t 1) e quello innovativo x (t) x (t 1), che è la
pendenza osservata sui dati dell’ultimo periodo. Ma così ci si espone troppo alle ‡uttuazioni
casuali dei dati: la pendenza x (t) x (t 1) può deviare marcatamente dall “pendenza media”
dell’ultimo periodo. Serve una grandezza simile a x (t) x (t 1) ma più stabile, meno esposta
alle ‡uttuazioni causali. Essa è s (t) s (t 1), come capiremo tra un momento.
Veniamo alla ricorsione per s (t). Se disegnamo un gra…co con due assi verticali delle
ordinate, uno al tempo t 1 ed uno al tempo t, vediamo che l’intercetta al tempo t non deve
essere simile all’intercetta al tempo t 1 ma al valore sulla retta m (t 1) i + s (t 1). I due
istanti t 1 e t distano di un’unità, quindi s (t) è giusto che sia legata a m (t 1) + s (t 1)
(cioè i = 1). Questa è la parte conservativa della ricorsione. La parte innovativa è dire che
s (t) deve essere legato al valore vero x (t). Quindi s (t) sarà una media pesata tra x (t) e
m (t 1) + s (t 1). In conclusione, le due equazioni ricorsive sono:
s (t) = x (t) + (1 ) (m (t 1) + s (t 1))
m (t) = (s (t) s (t 1)) + (1 ) m (t 1) :
In pratica è necessario calcolare prima s (t) dalla prima equazione, per poterlo sostituire nella
seconda.
Vediamo che il metodo è proprio innovativo rispetto a SE ed anche agli AR.
Il metodo è ottimo per catturare i trend. Ma se c’è anche un’evidente periodicità, il
metodo non riesce a riconoscerla come tale, quindi la insegue come se fosse una modi…ca
continua del trend, e commette troppi errori.
Inizializzazione di SE ed SET
Le equazioni per ricorrenza vanno inizializzate. Supponiamo che la serie temporale x (t)
parta da t = 1. Per SE, si tratta di stabilire p (1), la previsione al primo istante temporale.