Dispense

4.4. METODI REGRESSIVI 229
creare modelli del tipo (detti ARX, caso particolare degli ARIMAX)
xk = a1xk 1 + ::: + c1zk 1 + ::: + b + "k
dove z1; :::; zn è un’altra serie storica (ovviamente si possono usare, come predittori, diverse
serie storiche). Ad esempio, si può immaginare che il costo di certi beni di consumo siano
in‡uenzati dal prezzo del petrolio nel mese precedente. Allora xk è il costo del bene in oggetto,
zk 1 è il prezzo del petrolio nel mese precedente, xk 1 è il costo del bene considerato, relativo
al mese precedente. E’chiara la ‡essibilità di questo metodo. Purtroppo la sua applicazione
pratica richiede pazienza ed arte.
Prima di buttarsi nell’uso di tali modelli conviene assicurarsi che ci sia un legame tra le
serie storiche che si vogliono mettere insieme, qui chiamate z1; :::; zn e x1; :::; xn. Il concetto di
cross-correlazione introdotto nel capitolo sui processi stocastici è molto utile a questo scopo.
Esso calcola la correlazione tra le due serie (opportunamente troncate), con tutte le traslazioni
possibili. In altre parole, per ogni k = 1; :::; n 1 calcola la correlazione tra le serie
z1; :::; zn k
xk+1; :::; xn
Naturalmente il risultato è statisticamente sigi…cativo solo per k basso. Il software R, tramite
il comando ccf, esegue questo calcolo anche per k negativi. Attenzione quando lo si usa:
l’ordine con cui si danno le due serie al comando ccf è essenziale; per k positivi si vedrà la
correlazione tra l’una e le traslazioni in avanti dell’altra, e viceversa, ma come essere sicuri
dell’ordine? Rileggendo l’help del comando. Esso recita: The lag k value returned by ccf(x,y)
estimates the correlation between x[t+k] and y[t]. Quindi, supponiamo che si voglia scoprire
se una certa serie storica x in‡uisce su una y qualche mese dopo (i valori di x di gennaio si
ripercuotono sui valori di y di marzo, e così via, ad esempio). Allora ccf(x,y) con k=-2 ci dice
come x[t-2] è collegata a y[t].
Se la correlazione tra z1; :::; zn k e xk+1; :::; xn è elevata (vicina ad 1), allora queste serie
hanno un legame. Se lo riteniamo sensato dal punto di vista applicativo, possiamo estrapolare
che z1; :::; zn k in‡uisca su xk+1; :::; xn e che quindi abbia senso impostare un modello ARX,
che spiega la serie x non solo attraverso la propria struttura ricorsiva, ma anche facendo uso
del predittore z.
Molto utile, come output della ccf, è scoprire per quali k la correlazione è maggiore.
Questi ci dicono con che ritardo la serie z in‡uisce su x (se di in‡uenza si può parlare, si
vedano gli avvertimenti nel capitolo sulla regressione). Infatti, ad esempio, se è ragionevole
pensare che il prezzo del petrolio in‡uenzi il prezzo di certi beni di consumo, il ritardo
temporale con cui questo avviene magari non è ovvio a priori e può essere desunto dalle serie
storiche guardando i picchi della ccf.
Un avvertimento. Relativente ad una serie di dati, se si aumenta l’ordine p del metodo
AR, oppure se si introducono predittori come ora descritto, è chiaro che un poco aumenterà
la precisione con cui il modello descrive i dati noti. Ma non è detto che questo corrispoda ad
una realtà stutturale. Quindi, se la precisione aumenta pochissimo dopo aver introdotto un
predittore questo probabilmente signi…ca che esso non in‡uisce realmente, solo …ttiziamente.