Dispense

4.2. MODELLI ARIMA 199
Quando j j < 1, E [X0] = 0, V ar [X0] = 2
2 , la soluzione risulta un processo stazionario
1
in senso lato, ed anche in senso stretto se X0 è gaussiana. Il coe¢ ciente di autocorrelazione
decade esponenzialmente:
(n) = n :
Osservazione 64 Anche se una formula generale per (n) non è così semplice per un
generico AR(p), il decadimento esponenziale continua ad essere vero.
Il modello precedente non contiene intercetta ed è adatto a descrivere situazioni a media
nulla. Per descrivere casi a media non nulla si può considerare la seguente generalizzazione.
Si può pensare che, se Xt è il processo che ci interessa, e è la sua media (ipotizzata per
semplicità costante), allora (Xt ) è un processo a media nulla e per esso consideriamo il
modello AR(p) introdotto sopra
Allora Xt soddisfa
(Xt ) = 1 (Xt 1 ) + ::: + p (Xt p ) + "t:
Xt = 1Xt 1 + ::: + pXt p + "t + ( 1 ::: p )
= 1Xt 1 + ::: + pXt p + b + "t
cioè un modello di tipo AR(p) ma con intercetta
4.2.2 Esempi particolari
b = ( 1 ::: p ) :
Nella sezione di esercizi sulle serie storiche, esamineremo situazioni concrete di carattere
economico-sociale-gestionale. Le serie storiche considerate in tale ambito sono spesso le serie
dei valori mensili di una grandezza economica, ed hanno a volte un carattere stagionale, cioè
risultano maggiori sempre nelle stesse stagioni, di anno in anno. I modelli AR catturano
alcune caratteristiche di queste serie e forniscono, come vedremo in quella sezione, un buon
strumento per fare previsioni.
In vista di tali applicazioni, segnaliamo tre casi che spesso danno buoni risultati e ci fanno
capire perché viene in mente di usare i modelli ricorsivi AR per descrivere serie storiche.
Il primo è semplicemente il caso AR(1), già illustrato precedentemente, magari però con
intercetta per avere maggior ‡essibilità:
Xn = Xn 1 + b + "n:
Abbiamo già visto che per b = 0 ed j j < 1 c’è una soluzione stazionaria. Per altri valori
di e b si possono però avere comportamenti diversi, quindi il modello può essere usato per
descrivere altre situazioni.
Esempio 84 Ad esempio, si pensi al caso
Xn = Xn 1 + b + "n: