Dispense

3.2. PROCESSI STAZIONARI 161
vengono prese come approssimazioni di e 2 . Nel paragrafo sul teorema ergodico daremo
risultati rigorosi di approssimazione. Più delicata è l’approssimazione di R (k) ; C (k) ;
La quantità
bR (k) =
(k).
1
nX k
xixi+k
n k
viene presa come approssimazione di R (k). Si noti però che l’approssimazione sarà ragionevole
solamente per k sensibilmente minore di n, altrimenti la numerosità n k del campione
che si sta usando è troppo piccolo. Per prudenza i software iniziano calcolando b R (k) solo per
k dell’ordine di log n; però si può chiedere di dare i valori anche per k più grandi, mantenendo
qualche dubbio sulla bntà del risultato.
Sarebbe ora naturale de…nire b C (k) come b R (k) b 2 ma c’è un problema: b R (k) è calcolato
usando le sequenze
i=1
x1; :::; xn k
xk+1; :::; xn
mentre b usando tutta la sequenza x1; :::; xn. Quindi, pur essendo lecito prendere b R (k) b 2
come stimatore (per k basso e n alto va benissimo), forse è preferibile l’espressione più
complicata ma più simmetrica
Se ora si pone
vale la disuguaglianza
bC (k) = 1
nX k
(xi b
n k
0) (xi+k bk) i=1
dove b0 = 1
nX k
xi; bk =
n k
1
nX k
n k
i=1
i=1
i=1
i=1
xi+k:
b 2 0 = 1
nX k
(xi b
n k
0) 2 ; b 2 k = 1
nX k
(xi+k b
n k
k) 2
che è alla base della seguente de…nizione:
b (k) = b C (k)
b0bk
=
bC (k) b0b 2 k
P n k
i=1 (xi b 0) (xi+k b k)
q Pn k
i=1 (xi b 0) 2 P n k
i=1 (xi+k b k) 2
(3.1)
Questa è l’pprossimazione più coerente di (k). Infatti, oltre ad esserne una buona approssimazione,
vale
jb (k)j 1