Dispense

2.2. INTERVALLI DI CONFIDENZA 117
Esempio 61 Xn = X1+:::+Xn
n è un buon stimatore di . Ma, ad esempio nel caso in cui
X sia gaussiana, Xn ha una densità positiva su tutto l’asse reale, cioè può assumere (anche
se con probabilità piccolissima) valori arbitrariamente grandi (positivi e negativi), quindi
arbitrariamente distanti da . E’ impossibile sperare in un teorema del tipo Xn <
(senza ulteriori limitazioni).
L’esempio precedente però suggerisce la via di uscita: potrebbe valere Xn < con
elevata probabilità. Questa è la natura dei risultati che possiamo cercare: stime dell’errore
corredate di limitazioni sulla loro probabilità di essere valide.
Enunciamo una proposizione sulle gaussiane e vediamone le conseguenze. Ricordiamo che
indichiamo con (x) e q la cdf ed il quantile della normale standard, rispettivamente.
Proposizione 17 Sia X gaussiana, N ; 2 . Fissato > 0, vale
Viceversa, …ssato 2 (0; 1), vale
P Xn < = 2
P Xn < q1 2 p
n
Proof. Sappiamo che Xn è una gaussiana N ;
P < Xn < + =
=
= 2
2
n
( + )
= p n
p
n
p n
p n
1:
= 1 : (2.1)
. Allora
Questo dimostra la prima identità. Fissato 2 (0; 1), poniamo
2
p
n
1 = 1 :
Si trova
p n = 1
p n = q1 2
2
1:
= q1 2 p :
n
Questo conclude la dimostrazione anche della seconda identità.
p n
( )
= p n