Dispense

44 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Il teorema si estende poi al caso di funzioni di vettori aleatori. Scriviamo l’enunciato solo
nel caso di vettori continui; nel caso discreto vale un teorema simile, un po’noioso da scrivere
in generale (si veda un esempio poco sotto).
Teorema 9 Se X = (X1; :::; Xn) è un vettore aleatorio continuo con densità congiunta
f(x1; :::; xn), allora
E [' (X1; :::; Xn)] =
Z 1
1
' (x1; :::; xn) f(x1; :::; xn)dx1:::dxn:
per ogni funzione ' (x1; :::; xn) per cui abbia senso l’integrale.
Proprietà del valor medio
Iniziamo con l’enunciare le proprietà più semplici. Per ora non diamo (quasi) mai la dimostrazione,
in attesa di avere a disposizione la de…nizione rigorosa di valor medio, con la
quale molte delle sue proprietà diventano abbastanza semplici da dimostrare. Evitiamo di
appesantire gli enunciati con tutte le ipotesi ma, in sostanza, bisogna assumere che tutti i
valori medi di cui si parla esistano …niti.
Linearità
Se X e Y sono due v.a. qualsiasi de…nite sullo stesso spazio probabilizzato e ; e sono
numeri reali, allora si ha:
E[ X + Y + ] = E[X] + E[Y ] + :
Osservazione 15 Ribadiamo il fatto che non è necessaria alcuna ipotesi di indipendenza
delle variabili aleatorie X e Y .
Osservazione 16 La proprietà di linearità fa pensare che il valor medio sia un’operazione
simile all’integrale. Con la de…nizione rigorosa vedremo che questo è profondamente vero.
Invece, la scrittura integrale E[X] = R xf(x)dx è solo un ri‡esso di questo: non è per via di
questa scrittura che E[X] ha le proprietà di un’integrale. Si provi infatti ad immaginare una
dimostrazione della linearità basata su R xf(x)dx: bisognerebbe conoscere la densità f X+ Y
in relazione alle densità fX e fY . E’possibile ma intricata.
Osservazione 17 Dimostriamo la linearità nel caso di v.a. discrete, caso in cui è abbastanza
intuitivo scrivere la densità discreta p X+ Y + in relazione alle densità discrete pX e pY .
Chiariamo alcune notazioni. Supponiamo che X assuma i valori fxig con probabilità fpX (i)g
mentre Y assuma i valori fyjg con probabilità fpY (j)g. Allora Z = X + Y + assume i
valori z della forma xi + yj + al variare di tutte le coppie (i; j). Pertanto
E [ X + Y + ] = X
( xi + yj + ) P (X = xi; Y = yj) :
ij
La validità di questa identità è abbastanza intuitiva. Se si vuole tracciare una dimostrazione
completa si può argomentare così. Il vettore aleatorio (X; Y ) ha come densità congiunta i