Dispense

4.2. MODELLI ARIMA 207
4.2.7 Modelli ARIMA
De…nizione 46 Si chiama modello ARIMA(p; d; q) (AutoRegressive Integrated Moving Average
di ordini p, d e q) l’equazione lineare
pX
!
1
(1 L) d qX
!
Xt = 1 +
"t:
k=1
kL k
k=1
kL k
Il sigi…cato dei simboli è simile a quello delle de…nizioni precedenti.
Osservazione 68 L’operatore 1 Pp k=1 kLk (1 L) d può essere riscritto nella forma
1 Pp+d 0
k=1 kLk per opportuni nuovi coe¢ cienti 0
k , quindi un modello ARIMA(p; d; q) è
di tipo ARMA(p; q + d). Questo punto di vista però è fuorviante, ad esempio perché negli
ARIMA(p; d; q) non ci si interessa alle soluzioni stazionarie.
Se X risolve un modello ARIMA(p; d; q), allora Yt := (1 L) d Xt risolve il seguente
ARMA(p; q):
1
pX
!
Yt =
qX
1 +
!
k=1
kL k
e Xt si può ottenere da Yt attraverso d integrazioni successive. Il numero d è quindi l’ordine
di integrazione.
Il modo giusto di pensare a questi modelli è il seguente. Il processo Yt, risolvendo un
ARMA(p; q), è naturale che sia stazionario (in altre parole, ci interessa la soluzione stazionaria
di questo ARMA(p; q)). Integrando poi d volte si trova Xt, che però non è più stazionario (si
veda l’osservazione al termine del paragrafo). Le soluzioni a cui siamo interessati dei modelli
ARIMA(p; d; q) non sono stazionarie, ma sono quelle tali che Yt = (1 L) d Xt è stazionario.
Una tale soluzione Xt viene d solito detta processo ARIMA(p; d; q).
Esempio 92 La random walk è un ARIMA(0; 1; 0).
Possiamo incorporare una media non nulla (per la Yt = (1 L) d ARIMA(p; d; q) considerando il modello
Xt) in un modello
1
pX
!
(1 L) d Xt =
qX
1 +
!
"t + b (4.4)
sempre con
k=1
kL k
k=1
k=1
b = 1 ::: p :
Osservazione 69 Se Yt = (1 L) Xt e Yt è stazionario, non lo è Xt. L’integrazione rompe
la stazionarietà, per cui le soluzioni interessanti dei modelli ARIMA non sono stazionarie.
Cerchiamo di capire come mai l’integrazione produce non-stazionarietà. A titolo di esempio,
abbiamo già veri…cato nel capitolo sui processi stocastici che la random walk non è stazionaria.
La non stazionarietà della RW così come di vari altri ARIMA è di tipo complesso, cioè non
kL k
kL k
"t