Dispense

274 CAPITOLO 5. SISTEMI MARKOVIANI
Teorema 33 Se P è regolare su uno spazio degli stati S …nito, allora esiste una ed una sola
misura invariante e per essa vale la convergenza all’equilibrio
per ogni i; j 2 S.
lim
n!1 p(n)
ij = j
Proposizione 29 Se P è irriducibile, su uno spazio degli stati S …nito, ed esiste almeno uno
stato i tale che
pii > 0
allora è regolare.
Teorema 34 Se P è irriducibile, su uno spazio degli stati S …nito, (Xn) n 1 indica un processo
di Markov associato a P (con qualsiasi distribuzione iniziale al tempo zero) e è la distribuzione
invariante di P (sappiamo che è unica), allora per ogni funzione f : S ! R vale
la convergenza in probabilità (anche quasi certa)
1
lim
n!1 n
dove (f) è la media di f rispetto a :
Si noti che 1
n
nX
f (Xi) = (f)
i=1
(f) = X
f (i) i:
i2S
P n
i=1 f (Xi) è una variabile aleatoria.
Se (Xn) n 1 fosse un processo stazionario e fosse la legge di Xn (cosa vera se X1 avesse
legge , visto che è invariante), allora sarebbe
(f) = E [f (X1)]
cioè il terema ergodico precedente avrebbe esattamente la forma di quello visto nel capitolo
sui processi stazionari.
Qui la situazione è meno generale che in quel capitolo, perché stiamo esaminando catene
di Markov …nite. Ma per certi versi è più generale, sia perché possiamo predere f qualsiasi
(mentre nella versione base del teorema ergodico facevamo solo le medie 1 Pn i=1 Xi), sia per-
ché il processo (Xn) n 1 non è necessariamente stazionario. Inoltre, si noti che non assumiamo
alcuna scorrelazione asintotica. Il fatto di non aver bisogno dell’ipotesi di stazionarietà è una
proprietà simile a quella del teorema 33: anche se non si parte con distribuzione , asintoticamente
è come se si avesse distribuzione . Ciò dipende dall’ipotesi di irriducibilità. Se si
vuole però la vera e propria convergenza all’equilibrio l’irriducibilità non basta (basta cioè per
le medie temporali ma non per i singoli valori temporali, come si può capire facendo esempi
periodici). Per quanto riguarda poi la scorrelazione asintotica, di nuovo questa è prodotta
automaticamente dall’ipotesi di irriducibilità.
n