Dispense

146 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI
e la funzione
R (t; s) = E [XtXs]
(il suo nome verrà discusso sotto). Esse sono simmetriche (R (t; s) = R (s; t) e lo stesso per
C (t; s)) quindi è su¢ ciente conoscerle per t s. Vale
C (t; s) = R (t; s) t s; C (t; t) = 2 t :
In particolare, quando t 0 (che accade spesso), C (t; s) = R (t; s). Le più importanti, tra
tutte queste funzioni sono considerate t e R (t; s). In…ne, introduciamo:
iii) la funzione di autocorrelazione
Vale
C (t; s)
(t; s) = Corr (Xt; Xs) =
t s
(t; t) = 1; j (t; s)j 1:
Le funzioni C (t; s), R (t; s), (t; s) vengono usate per identi…care ripetizioni (in senso vago,
sporcato da errore) nel processo, somiglianze tra il processo ed una sua traslazione temporale.
Per esempio, se (Xn) n 0 è vagamente periodica di periodo P , (t + P; t) sarà signi…cativamente
più alto degli altri valori di (t; s) (ad eccezione di (t; t) che sempre uguale ad
1).
Esempio 68 Supponiamo che Xn rappresenti le vendite mensili di un certo prodotto, soggetto
a stagionalità, cioè più venduto in una certa stagione piuttosto che un’altra (vestiti di un
certo tipo, ad esempio). Allora il processo X1; X2; ::: ed il processo X12+1; X12+2; ::: saranno
simili, anche se non identici per via delle di¤erenze che intercorrono sempre tra un’annata
ed un’altra (concorrenza diversa, situazione economica diversa del luogo di vendita ecc.). Se
fossero identici, cioè se fosse X12+1 = X1, X12+2 = X2 ecc., allora avremmo
C (t + 12; t)
(t + 12; t) = =
t+12 t
2
t
t t
= 1
dove abbiamo usato il fatto che t+12 = t (essendo X12+t = Xt) e
C (t + 12; t) = Cov (Xt+12; Xt) = Cov (Xt; Xt) = 2 t :
Quindi (t + 12; t) = 1, il valore massimo possibile. Se non vale esattamente X12+t = Xt
ma solo approssimativamente, (t + 12; t) non sarà esattamente 1 ma emergerà comunque
rispetto agli altri valori.
Esempio 69 Precisamente, per fare un esempio numerico, supponiamo che il legame tra
tempi a distanza di un anno sia
X12+t = Xt + "t
dove per semplicità supponiamo che "t sia indipendente da Xt e sia piccolo nel senso che la
deviazione standard di "t sia un decimo di quella di Xt:
V ar ["t] = 1
100 V ar [Xt] :