Dispense

98 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
jdet Dg (x)j dx dove Dg è la matrice jacobiana (la matrice delle derivate prime) della trasformazione
g : R n ! R n . In realtà abbiamo bisogno della trasformazione inversa, quindi usiamo
la formula
dx = det Dg 1 1
(y) dy =
jdet Dg (g 1 (y))j dy:
Con gli stessi passaggi visti sopra nel caso 1-dimensionale, otteniamo il seguente risultato.
Proposizione 10 Se g è biunivoca e di¤erenziabile con matrice jacobiana invertibile e Y =
g (X), allora
fY (y) =
fX (x)
:
jdet Dg (x)j y=g(x)
Corollario 4 Sia X = (X1; :::; Xn) un vettore casuale, A una matrice n n invertibile,
b 2 R n , ed Y = (Y1; :::; Yn) un vettore casuale de…nito da
Y = AX + b:
Se X ha densità congiunta fX (x) allora anche Y ha densità congiunta, data da
fY (y) = fX A 1 (y b)
jdet Aj
Proof. La trasformazione g (x) = Ax + b è invertibile, con inversa g 1 (y) = A 1 (y b).
La matrice jacobiana di g (x) è A, costante. Basta allora sostituire questi fatti nella formula
precedente.
Esercizio 13 Se X (in R n ) ha densità fX (x) e Y = UX, dove U è una trasformazione
ortogonale di R n (ovvero U 1 = U T ), allora Y ha densità
fY (y) = fX U T y :
Soluzione. Le trasformazioni ortogonali sono invertibili ed hanno determinante pari a 1, in
quanto
1 = det Id = det UU T = det (U) det U T = det (U) 2 :
Basta quindi sostituire nella formula precedente.
1.5.2 Trasformazione lineare dei momenti
La soluzione dei seguenti esercizi è basata sulla linearità del valore atteso (e quindi della
covarianza, rispetto a ciascuno dei suoi argomenti)
Esercizio 14 Sia X = (X1; :::; Xn) un vettore casuale, A una matrice n d, cioè A : R n !
R d , b 2 R d , ed Y = (Y1; :::; Yd) un vettore casuale de…nito da
Y = AX + b:
Sia X = X 1 ; :::; X n il vettore dei valori medi di X, ovvero X i = E [Xi] e sia Y =
Y
1 ; :::; Y d il vettore dei valori medi di Y . Allora
Y = A X + b:
: