Dispense

304 CAPITOLO 5. SISTEMI MARKOVIANI
Se abbiamo una serie storica stazionaria, con autocorrelazione relativamente semplice a
memoria breve (come quella precedente, che va a zero dopo pochi valori), ed invece vogliamo
catturare bene le proprietà statistiche non gaussiane, possiamo usare la teoria delle equazioni
di Fokker-Planck, che descriveremo nella prossima sezione.
5.7 Equazioni di¤erenziali stocastiche
Consideriamo l’equazione di¤erenziale (o più precisamente il problema di Cauchy)
dx(t)
dt
= b (t; x (t)) ; x (0) = x0:
Se tutti i termini, cioè b (t; x) e x0, sono deterministici, la soluzione sarà deterministica. Se
invece o il dato iniziale x0 oppure b (t; x) è aleatoria, la soluzione sarà un processo stocastico.
Il caso di un dato iniziale x0 aleatorio è interessante ma piuttosto elementare, per cui ci
concentriamo sul caso di b (t; x) aleatoria. Consideriamo un caso molto particolare, in cui
l’equazione ha la forma
dx(t)
dt
= b (x (t)) + (x (t)) (t) ; x (0) = x0:
dove b dipende solo da x e (t) è un processo stocastico assegnato, diciamo di media nulla e
varianza unitaria, per cui misura la sua deviazione standard. Per essere ancora più speci…ci,
supponiamo che (t) sia un white noise. Non diamo la de…nizione rigorosa di white noise,
accontentandoci di descrivere alcuni risultati e svolgere alcune simulazioni. Notiamo solo che
molto spesso un’equazione di tale tipo viene scritta nella forma
dx(t) = b (x (t)) dt + (x (t)) dB(t)
dove B(t) è un moto browniano. Infatti, abbiamo già osservato altrove che il white noise è la
derivata del moto browniano: (t) = dB(t)
dt , uguaglianza che lega le due formulazioni dell’equazione.
Il motivo che spinge a scrivere solamente dB(t) e non dB(t)
dt è che le traiettorie del
moto browniano non sono derivabili, quindi in un certo senso l’equazione non è un’equazione
di¤erenziale ma solo un’equazione per incrementi dx(t), dB(t).
Accettando che con una certa fatica matematica si possa dar senso a tutte le espressioni ed
equazioni dette sopra, vediamo i risultati. La soluzione x(t) è un processo stocastico. Senza
entrare nei dettagli, si può dimostrare che è un processo di Markov. Cosa molto importante,
ad ogni istante t > 0 la v.a. x(t) ha densità di probabilità p (t; x) che soddisfa una certa
equazione. Prima di scriverla sottolineiamo un fatto teorico non banale: anche se il dato
inziale x0 è deterministico, cioè il processo stocastico x(t) al tempo t0 = 0 vale identicamente
x0, con probabilità uno, quindi non ha densità, tuttavia ha densità ad ogni istante t > 0. Si
parla infatti di processo di di¤usione. E’come se all’istante t0 = 0 ci fossero in…nite particelle
tutte concentrate nel punto x0, che poi immediatamente si muovono in diverse direzioni con
traiettorie erratiche (tipo moto browniano), per cui ad ogni successivo istante t > 0 troviamo
le particelle distribuite un po’ ovunque (non in modo uniforme), distribuite secondo una
densità p (t; x).