Dispense

1.2. VARIABILI ALEATORIE E VALORI MEDI 45
valori P (X = xi; Y = yj) al variare di tutte le coppie (xi; yj). Introduciamo la trasformazione
' (x; y) = x + y + . Vale Z = ' (X; Y ). Per il teorema sulle trasformazioni di v.a.
enunciato sopra, vale
E [' (X; Y )] = X
' (xi; yj) P (X = xi; Y = yj) :
ij
Questa è l’identità enunciata sopra.
Tornando alla linea principale della dimostrazione, in base all’identità scritta, vale
E [ X + Y + ] = X
xiP (X = xi; Y = yj) + X
yjP (X = xi; Y = yj) + X
P (X = xi; Y = yj)
Osservando che
troviamo
=
=
ij
X
La dimostrazione è completa.
Positività
i
xi
X
P (X = xi; Y = yj) + X
j
X
P (X = xi; Y = yj) = P (X = xi)
j
X
P (X = xi; Y = yj) = P (Y = yj)
i
X
P (X = xi; Y = yj) = 1
ij
X
xiP (X = xi) + X
yjP (Y = yj) +
i
= E[X] + E[Y ] + :
Se X 0 (cioè X(!) 0 per ogni ! 2 ), allora E[X] 0.
j
ij
j
yj
ij
X
P (X = xi; Y = yj) + X
P (X = xi; Y =
Osservazione 18 Questa proprietà può invece essere enunciata anche ricorrendo alla densità
di X, in quanto la condizione X 0 si può formulare con fX(x) = 0 per ogni x < 0.
Ovviamente questo si può dire solo se X è una v.a. che ammette densità (continua o discreta).
Monotonia
Se X Y (cioè X(!) Y (!) per ogni ! 2 ), allora E[X] E[Y ]. Si vede facilmente,
ragionando sulla di¤erenza Y X, che questa proprietà è equivalente alla positività.
i
ij