Dispense

1.3. ESEMPI 75
De…nizione 24 Data una v.a. X che ha media e varianza 2 …nite, chiamiamo standardizzata
di X la v.a.
Z = X
:
Essa ha media nulla e varianza unitaria.
Corollario 2 Se X è gaussiana N ; 2 , allora la sua standardizzata Z è una normale
standard. Inoltre, vale la rappresentazione
X = + Z:
La dimostrazione è ovvia, ma il contenuto è della massima importanza. Si noti inoltre che
l’espressione x
(la standardizzazione) compare continuamente nei calcoli sulle gaussiane.
Appare anche nel risultato che esporremo tra un momento, che si usa continuamente in
statistica.
De…nizione 25 Indichiamo con (x) la cdf della normale standard N (0; 1).
Il suo gra…co è già stato disegnato al paragrafo 1.2.6. Si può anche ottenere con R coi
comandi
x 0. I valori per x < 0 si calcolano con la formula ( x) =
1 (x).
Proposizione 7 Sia F ; 2 (x) la cdf di una X N ; 2 . Allora
Proof.
F ; 2 (x) =
F ; 2 (x) = P (X x) = P
x
X x
De…nizione 26 Se X è una v.a. con cdf F (x) strettamente crescente e continua, dato
2 (0; 1) esiste uno ed un solo numero q 2 R tale che
F (q ) = :
La funzione 7! q è la funzione inversa di x 7! F (x). Il numero q si dice quantile di
ordine .
:
=
x
: