Dispense

84 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
di convergenza in legge per una successione ( n) di misure di probabilità ed una misura di
probabilità limite , richiedendo che
n (( 1; t]) ! (( 1; t])
per ogni t che sia punto di continuità di (( 1; t]). Si dimostra che questa nozione equivale
a richiedere Z
Z
f (x) n (dx) ! f (x) (dx)
X
per ogni funzione continua e limitata f : X ! R, dove qui X = R. Questo modo di vedere le
cose è utile anche per le generalizazioni a spazi metrici X diversi da R.
Vale in…ne un teorema di convergenza legato alle funzioni generatrici. Se ' Xn (t) converge
a ' X (t) in ogni punto t di un intervallo aperto non vuoto, allora Xn converge a X in legge.
1.4.2 Legge debole dei grandi numeri
Data una successione X1; X2; :::; Xn; ::: di v.a. (de…nite tutte sullo stesso spazio probabilizzato
( ; F; P )), scriveremo
X
Xn = X1 + ::: + Xn
:
n
Esercizio 6 Se le v.a. X1; X2; :::; Xn; ::: hanno media (la stessa per tutte), allora
E Xn = :
Esercizio 7 Se inoltre X1; X2; :::; Xn; ::: sono indipendenti ed hanno varianze 2 1 ; 2 2 ; :::; 2 n; :::
…nite, allora
V ar Xn =
2
1 + ::: + 2 n
n2 In particolare, se le varianze sono equilimitate da una costante C > 0, ovvero
per ogni n, allora
2
n
V ar Xn
Soluzione. Le costanti escono al quadrato, per cui V ar Xn = 1
n 2 V ar [X1 + ::: + Xn]. Essendo
indipendenti, vale poi
C
C
n :
V ar Xn = 1
n 2 (V ar [X1] + :::V ar [Xn]) =
:
2
1 + ::: + 2 n
n2 L’ultima a¤ermazione è di conseguenza ovvia.
Da tutti questi fatti è immediato dedurre la seguente versione della Legge Debole dei
Grandi Numeri (LGN debole).
: