Dispense

1.5. APPROFONDIMENTI SUI VETTORI ALEATORI 107
Si deduce inoltre che Q, essendo uguale a U T QeU (la relazione Q = U T QeU discende da
Qe = UQU T ), è invertibile, con inversa Q 1 = U T Q 1
e U. Si deduce allora facilmente
(x ) T Q 1 (x ) > 0 per ogni x 6= . Inoltre, vale
in quanto
det(Q) = det U T det (Qe) det (U) = 1 n
det(Qe) = 1 n
e det (U) = 1. Quest’ultimo fatto discende da
1 = det I = det U T U = det U T det (U) = det (U) 2
(che verrà usato nell’esercizio 13).
de…nisce una funzione positiva.
Quindi det(Q) > 0. La formula per f (x) ha senso e
Step 2. Proviamo ora che f (x) è una densità. Per il teorema di cambio di variabile negli
integrali multidimensionali, col cambio di variabile x = U T y, troviamo
Z
Z
f (x) dx = f U T y dy
R n
in quanto det U T = 1 (e la matrice jacobiana di una trasformazione lineare è la matrice
stessa). Ora, essendo UQ 1 U T = Q 1
e , f U T y coincide con la seguente funzione:
dove abbiamo posto
Essendo
fe (y) =
e det(Qe) = 1 n, otteniamo
1
p (2 ) n det(Qe) exp
R n
e = U :
(y e) T Q 1
e (y e) =
fe (y) =
nY
i=1
1
p exp
2 i
(y e) T Q 1
e (y e)
2
nX (yi ( e) i ) 2
i=1
(yi ( e) i ) 2
!
:
2 i
In altre parole, fe (y) è il prodotto di n densità gaussiane N (( e) i ; i). Sappiamo dalla
teoria che il prodotto di densità è la densità congiunta di un vettore fatto di componenti
indipendenti. Quindi fe (y) è una densità di probabilità. Pertanto R
Rn fe (y) dy = 1. Questo
dimostra R
Rn f (x) dx = 1, ovvero f è una densità di probabilità.
Step 3. Sia X = (X1; :::; Xn) un vettore aleatorio con densità di probabilità f, se scritto
nella base originaria. Sia Y
fY (y) = f U
= UX. Allora (esercizio 13) Y ha densità fY (y) data da
T y . Quindi
nY 1
fY (y) = fe (y) = p
2
exp
i
(yi ( e) i ) 2
!
:
2 i
i=1
i
!