Dispense

6.3. MODELLI LINEARI 339
Con questo nuovo linguaggio, chiamiamo varianza spiegata la percentuale della varianza
che è stata spiegata da aX +b e varianza non spiegata la percentuale complementare. Siccome
la parte di Y non spiegata è ", la varianza non spiegata è
Quindi la varianza spiegata è
1
2
V ar [Y ] :
2
V ar [Y ] :
Ma questa è pari a 2 (Y; X)! Siamo arrivati al seguente risultato:
Proposizione 32 Il coe¢ ciente di correlazione al quadrato, 2 (Y; X), è la varianza spiegata
1 dalla relazione lineare.
Y .
2
V ar[Y ]
Più 2 (Y; X) è alto (vicino a 1) più la relazione lineare riesce a spiegare la variabilità di
6.3.3 Regressione lineare multipla
Supponiamo di avere una tabella di numeri del tipo
X1 ::: Xp Y
1 x1;1 ::: x1;p y1
2 x2;1 x2;p y2
::: :::
n xn;1 xn;p yn
dove le colonne rappresentano diverse variabili (ad esempio X1 = reddito, ... , Xp = numero
anni istruzione, Y = spese per mostre e musei), le righe rappresentano diversi “individui”
(ad esempio singole persone, oppure città o regioni di una nazione) ed i valori numerici sono
noti, sono stati misurati.
Ci chiediamo se le variabili X1; :::; Xp in‡uiscono su Y . Ci chiediamo se Y dipende da
X1; :::; Xp. Un maggior reddito induce a maggiori spese per mostre e musei? Ed un maggior
gradi di istruzione (lì misurato semplicemente come numero di anni si studio)?
Immaginiamo che le variabili siano legate da una relazione funzionale, a meno di errore:
Y = f (X1; :::; Xp) + ":
Più speci…camente, per semplicità, supponiamo che la relazione sia lineare:
Y = a1X1 + ::: + apXp + b + "
(b è detta intercetta, e nel caso p = 1 il coe¢ ciente a := a1 è detto coe¢ ciente angolare).
A partire dalla matrice dei dati, relativamente ad una scelta dei coe¢ cienti a1; :::; ap; b,
possiamo calcolare i residui
"i = yi (a1xi;1 + ::: + apxi;p + b)