Dispense

160 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI
3.2.2 Serie temporli e grandezze empiriche
Una serie temporale è una sequenza …nita di numeri reali x1; :::; xn, dove di solito l’indice i ha
il signi…cato di tempo. Sono serie temporali i dati mensili o annuali di tipo economico-sociale
rintracciabili su siti come Istat o Eurostat. Sono serie temporali anche le realizzazioni di
processi stocastici, accettando eventualmente in questa accezione che la sequenza di numeri
sia in…nita.
Idealmente, quando osserviamo una serie temporale x1; :::; xn del mondo reale, immaginiamo
che alle sue spalle ci sia un processo stocastico (Xk) k2N di cui essa sia una realizzazione.
Con questa immaginazione, applichiamo la teoria dei processi stocastici all’analisi della serie
temporale.
Il procedimento è del tutto analogo a ciò che si fa in statistica elementare quando, a
fronte di valori sperimentali di una grandezza …sica, economica ecc., caratterizzata da na
certa casualità, imprevedibilità del suo risultato, si immagina che alle spalle di questi numeri
sperimentali ci sia una variabile aleatoria X, si cui essi siano valori possibili X (!) per qualche
! dello spazio su cui la v.a. è de…nita.
C’è qui somiglianza ma anche una di¤erenza essenziale rispetto alla statistica elementare.
Se vogliamo stimare la media di una v.a. X, sappiamo che dobbiamo raccogliere un campione
x1; :::; xn da X e calcolare x = 1
n (x1 + ::: + xn). Se possediamo solo un valore sperimentale x1
estratto da X, la stima della media è troppo povera. Ora, nell’ambito dei processi stocastici,
se vogliamo stimare grandezze medie associate al processo (es. R) dovremmo, in analogia col
caso di una v.a. X, possedere un campione estratto dal processo, cioè n sue realizzazioni;
ogni realizzazione è una stringa di numeri, quindi dovremmo possedere n stringhe di numeri,
n serie storiche.
La novità è che, in ipotesi di stazionarietà, basta una realizzazione, una serie storica,
per stimare le grandezze medie. Sarebbe come sperare di stimare media e varianza di una
v.a. X possedendo solo un suo valore sperimentale x1. Da questo punto di vista quindi può
sembrare sorprendente ma la chiave è la stazionarietà, che rende simili, per certi versi, le v.a.
del processo. Una singola realizzazione è fatta di un valore per ciascuna v.a. del processo, e
siccome le v.a. del processo sono per certi versi come tante copie di una X, una sola serie
storica somiglia in un certo senso ad un campione estratto da una singola X.
In altre parole, si sta sostituendo l’indipendenza ed equidistribuzione (ipotesi alla base
del concetto di campione estratto da una v.a. X) con la stazionarietà.
Per essere più precisi, come vedremo tra poco, serve anche un’ipotesi aggiuntiva chiamata
ergodicità. Questo si può capire intuitivamente. L’indipendenza ed equidistribuzione è una
doppia ipotesi, appunto. La stazionarietà è un rimpiazzo dell’equidistribuzione, ma non
dell’indipendenza. Anzi, il processo stazionario più semplice possibile è quello fatto da ua
ripetizione della stessa identica v.a. X, processo in cui c’è dipendenza completa. L’ipotesi di
ergodicità sarà quella che rimpiazza l’indipendenza (sarà una sorta di indipendenza asintotica,
cioè tra Xn ed X1 per n grande).
Si consideri allora la serie temporale x1; :::; xn. Ipotizziamo che provenga da un processo
stazionario (ed ergodico, concetto che de…niremo più avanti). Allora
b = 1
n
nX
i=1
xi; b 2 = 1
n
nX
(xi b) 2
i=1