Dispense

5.7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI STOCASTICHE 307
5.7.2 Identi…cazione sperimentale dei parametri
Proseguiamo l’esempio precedente ma supponendo che sia noto solo il modello
dx(t) = x(t)dt + dB(t)
nella sua struttura, non numericamente i parametri e . Supponiamo però di conoscere
una realizzazione sperimentale (una serie storica)
x1; x2; :::
Allora possiamo da questa stimare e .
Da un lato, per certi scopi, è su¢ ciente conoscere il rapporto 2
2 , cioè la varianza della
distribuzione stazionaria. Allora, invocando un teorema ergodico, il numero
1
n
nX
(xk x) 2
k=1
2
1 Pn è uno stimatore di 2 . Qui come sempre x = n k=1 xk.
Se però volessimo svolgere simulazioni dell’equazione del moto, dovremmo conoscere separatamente
e . Si può allora osservare che è legato al tempo di rilassamento (decadimento)
all’equilibrio: in assenza del termine dB(t) l’equazione del moto sarebbe
dx(t)
dt
= x(t)
la cui soluzione è x(t) = x0e t , che impiega un tempo dell’ordine di 1 a diventare molto
piccola: x( 1 ) = x0e 1 = 0:36 x0. Si capisce che si sta parlando dell’ordine di grandezza del
tempo di rilassamento, altrimenti bisognerebbe stabilire a priori cosa si intende per molto
piccolo. A volte si preferisce parlare del tempo di dimezzamento.
Stabilito che 1 è l’ordine di grandezza del tempo di rilassamento, si può calcololare la
funzione di autocorrelazione della serie x1; x2; ::: e calcolare da essa un numero che corrisponda
al tempo di rilassamento della serie storica (tempo di scorrelazione). Da qui si può stimare
2
. Poi, stimato , si stima dal momento che 2 è stato pure stimato.
Questo procedimento è un po’vago, nel senso che non prescrive esattamente come calcolare
l’analogo di 1 sulla serie storica. Però ha il pregio di far capire l’idea. Per un’identi…cazione
più precisa di si può usare il seguente fatto, che non ci mettiamo a giusti…care nei dettagli:
Cov (xt; x0) = Cov x0e
= e
quindi, detta l’autocorrelazione,
t
2
2
+ 0
t ; x0 + Cov
(xt; x0) = e
t :
Z t
0
e
(t s) dB(s); x0