Dispense

40 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Esempio 29 Ad esempio,
Z
P (X1 > X2) =
f(x1;x2)2R 2 :x1>x2g
f (x1; x2) dx1dx2:
In altri casi, la legge di X = (X1; :::; Xn) può essere discreta. Supponiamo per semplicità
di notazione (in realtà non è restrittivo) che le singole variabili X1; :::; Xn assumano come
valori possibili solo i valori fakg k2N . Allora il vettore X = (X1; :::; Xn) può assumere ciascuno
dei valori
(ak1 ; :::; akn )
con gli aki 2 fakg k2N . Allora interesserà calcolare innanzi tutto le probabilità del tipo
p (ak1 ; :::; akn ) = P (X1 = ak1 ; :::; Xn = akn ) :
La famiglia di numeri p (ak1 ; :::; akn ) ; ak1 ; :::; akn 2 fakg k2N può essere chiamata densità
discreta del vettore X.
Parallelamente sopravvivono i vecchi concetti per ciascuna delle v.a. X{. La legge di X1
si chiama ora legge marginale di X1, e se ha densità fX1 (x1) questa si dirà densità marginale
di X1, e così via per le altre.
Nasce allora la domanda circa il legame tra congiunta e marginali. Limitiamoci a discutere
le densità.
Teorema 6 In generale (quando le densità esistono), vale
fX1 (x1)
Z
= f (x1; :::; xn) dx2
Rn 1
e così per le altre. Quando X1; :::; Xn sono v.a. indipendenti, vale inoltre
f (x1; :::; xn) = fX1 (x1) fXn(xn)
e vale anche il viceversa (se la densità congiunta è il prodotto delle marginali, allora le v.a.
sono indipendenti).
Omettiamo la dimostrazione, non troppo di¢ cile peraltro. Osserviamo come interpretazione
che, mentre dalla congiunta è sempre possibile calcolare le marginali, viceversa dalle
marginali è in genere molto di¢ cile risalire alla congiunta, salvo nel caso di indipendenza.
Questo non deve stupire: è come il problema di calcolare la probabilità di una intersezione
P (A \ B). In generale, abiamo bisogno di conoscere ad esempio P (AjB), che è
un’informazione ben più complessa delle probabilità “marginali”P (A) e P (B).
Esempio 30 Gaussiana multidimensionale canonica. Supponiamo che X1; :::; Xn siano v.a.
indipendenti gaussiane canoniche, quindi tutte con densità (marginale) 1
p2 exp x 2 =2 .
Allora il vettore aleatorio X = (X1; :::; Xn) ha densità congiunta data dal prodotto delle
marginali (Teorema 6)
f (x1; :::; xn) =
1
p (2 ) n exp
dxn
x 2 1 + + x2 n
2
!