Dispense

1.2. VARIABILI ALEATORIE E VALORI MEDI 49
1.2.14 Disuguaglianza di Hölder
Date X e Y v.a. qualsiasi, se i valori medi della formula sono ben de…niti, si ha
E[XY ] E [X p ] 1
p E [Y q ] 1
q
con 1 1
p + q = 1; p; q > 1. Come esempio di applicazione, per p = q = 1=2 si ha
E[XY ] p E[X 2 ] p E[Y 2 ]:
Per capire l’utilità di questa disuguaglianza, si deve pensare al fatto che sappiamo scrivere
un’uguaglianza per E[XY ] solo per v.a. indipendenti (più in generale scorrelate, si veda
oltre). Quindi la disuguaglianza di Hölder ci permette almeno di scrivere una disuguaglianza,
in generale.
Ha però il difetto di elevare a potenza le v.a., cosa che in certi ambiti è molto dannoso. Si
pensi ad esempio ai problemi di chiusura in ‡uidodinamica. Quando si considera l’equazione
di Navier-Stokes (che è non lineare) si tenta talvolta di ricavare da essa un’equazione per i
valori medi della velocità, detta equazione di Reynolds, ma la presenza della nonlinearità fa
sì che nell’operazione di media si ottengano valori medi di potenze che non sono riconducibili
ai valori medi delle singole v.a. Detto u(x) = (u1(x); u2(x); u3(x)) il campo di velocità,
bisognerebbe saper esprimere il cosidetto tensore di Reynolds E [ui(x)uj(x)] tramite prodotti
del tipo E [ui(x)] E [uj(x)], ma questo richiederebbe l’indipendenza, che è falsa in generale
in questo problema. Purtroppo, anche se si usa la disuguaglianza di Hölder, questa, oltre ad
essere una disuguaglianza (quindi servirebbe più che altro per trovare stime per l’equazione
di Reynolds piuttosto che una chiusura della stessa), metterebbe in gioco momenti di ordine
più elevato, come E ui(x) 2 .
1.2.15 Disuguaglianza di Jensen
Data una funzione convessa e una v.a. X, si ha (se esistono i valori medi considerati)
Ad esempio si ha che
E[ (X)] (E[x]) :
E[X 2 ] (E[x]) 2
che può anche essere dimostrata anche con la disuguaglianza di Hölder, e
E[e X ] e E[x] :
Questa disuguaglianza ammette una semplice interpretazione gra…ca.
1.2.16 Disuguaglianza di Chebyshev
Questa potente disuguaglianza che lega una probabilità a un valor medio è talvolta detta
anche disuguaglianza di Markov. Se X 0 e a > 0 si ha che
P (X > a) E[X]
a :