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270 CAPITOLO 5. SISTEMI MARKOVIANI temi aleatori di attesa negli stati, a piacere. Un altro modo di introdurre il tempo di attesa in uno stato è quello di usare i processi a salti della prossima sezione: si introducono degli orologi aleatori, associati a tutte le transizioni possibili, che “suonano” dopo un tempo aleatorio di caratteristiche statistiche date, provocando la relativa transizione nell’istante in cui suonano (poi vanno azzerati tutti e riavviati). 5.1.2 Misure invarianti De…nizione 49 Relativamente ad una catena data, cioè ad una matrice di transizione P su un insieme di stati S, una misura invariante (detta anche distribuzione di probabilità invariante, o stazionaria) è un vettore di numeri i 2 [0; 1], con = ( i) i2S P i2S i = 1, tale che Vale equivalentemente = P: = P n per ogni n 2 N. Per questo si dicono invarianti (o stazionarie, o di equilibrio): se il sistema parte al tempo zero con la distribuzione di probabilità , lo troviamo successivamente nei vari stati sempre con la stessa probabilità (infatti P n è la distribuzione di probabilità al tempo n). Non signi…ca ovviamente che lo stato resti sempre lo stesso: il sistema transisce da uno stato all’altro ma occupa il generico stato i sempre con la stessa probabilità i. L’interesse per queste distribuzioni non è però legato al fatto di partire da esse al tempo zero ma di convergere verso di loro quando il tempo tende all’in…nito. Si sta pensando alla situazione comune a tanti sistemi reali in cui c’è un transitorio dopo di cui si passa, al limite, ad un regime stazionario. Bene: le distribuzioni stazionarie dovrebbero descrivere il regime stazionario, quello che si osserva dopo che è passato un po’di tempo. Ad esempio: all’apertura di una banca c’è un momento iniziale di sovra¤ollamento causato dalla gente che attedeva l’apertura all’esterno. Dopo un certo numero di minuti però quel tra¢ co iniziale è stato smaltito e l’a¤ollamento della banca diventa quello a regime, in cui entrano ed escono persone in modo casale ma statisticamente regolare. Se pensiamo che Xn descriva il numero di persone in banca al tempo n, passato il transitorio, questo numero non è costante, ma la probabilità che valga i lo è (all’incirca). Sotto ipotesi opportune che non possiamo discutere in questo momento vale lim n!1 p(n) = : Qunado questo vale, si dice che c’è convergenza all’equilibrio. I teoremi che garantiscono questo fatto vengono detti teoremi ergodici. Nota per gli esercizi. Le misure invarianti si possono calcolare algebricamente risolvendo l’equazione = P . Tuttavia, è utile e istruttivo arrivare ad un sistema di equazioni che permette il calcolo di per via gra…ca, col metodo detto del bilancio di ‡usso (naturalmente
5.1. CATENE DI MARKOV 271 il sistema che si ottiene col bilancio di ‡usso è equivalente al sistema = P , ma può apparire lievemente diverso a prima vista). Si concentra l’attenzione su uno stato i, osservando le frecce entranti e quelle uscenti. Chiamiamo probabilità entrante il numero X k2S;k6=i ovvero la somma di tutte le probabilità entranti da ogni stato k, intendendo che passi da k a i la percentuale pki della massa k che si trova in k. Anaogamente chiamiamo probabilità uscente il numero X Questi due numeri devono uguagliarsi: X k2S;k6=i j2S;j6=i kpki ipij: kpki = X j2S;j6=i Questo è il bilancio di ‡usso nello stato i. Ripetendo questa operazione in tutti gli stati si trova un sistema tante equazioni quante sono le incognite i. Tuttavia questo sistema è ridondante: un’equazione qualsiasi può essere ottenuta combinando opportunamente le altre. In questo modo non si arriverebbe quindi a determinare univocamente (a parte i problemi di non unicità di ci parleremo nel prossimo paragrafo). Si deve quindi aggiungere l’equazione X i = 1: i2S Esercizio 32 Mostrare che le equazioni di bilancio di ‡usso sono equivalenti al sistema P . = Osservazione 72 La particolarità di dover aggiungere l’equazione P i2S i = 1 è presente anche se si risolve il sistema = P (infatti i due sistemi sono equivalenti). Anzi, è proprio dall’equazione = P che si vede chiaramente il problema: (0) = 0 è sempre soluzione, per cui se ne troviamo un’altra non nulla (1) , già sono due e poi lo sono anche tutte le combinazioni lineari (0) + (1) con e reali qualsiasi. E’ quindi ovvio che il solo sistema = P non può identi…care un’unica soluzione (a parte i problemi eventuali di non unicità che esamineremo nel paragrafo della classi…cazione degli stati). Citiamo due classi particolari che a volte permettono di sempli…care il calcolo delle distribuzioni invarianti. De…nizione 50 Si dice che soddisfa l’equazione di equilibrio dettagliato, o che è reversibile, se ipij = jpji per ogni i 6= j. Si dice che P è bistocastica se X pij = 1 (cioè se P T è stocastica). i ipij:
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Elementi di Probabilità, Statistic
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iv INDICE 1.2.16 Disuguaglianza di
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