Dispense

1.1. EVENTI E LORO PROBABILITÀ 13
Esempio 6 Fissato un intero positivo n, consideriamo l’insieme di tutte le sequenze
(x1; :::; xn) composte di zeri ed uni. A volte si usa scrivere
= f0; 1g n
ovvero l’insieme di tutte le applicazioni da un insieme di n elementi in f0; 1g. è un insieme
…nito, con 2 n elementi. De…niamo un’interessante probabilità P su F = P ( ). Per quanto
detto nella precedente osservazione, basta che assegniamo la probabilità ad ogni sequenza
(x1; :::; xn) in modo da avere somma uno. Fissato un numero p 2 [0; 1], posto q = 1 p, detto
k il numero di uni nella sequenza (x1; :::; xn), poniamo
p (x1; :::; xn) = p k q n k :
Sono numeri in [0; 1]. La loro somma è pari a
nX
k=0
nkp k n k
q
dove nk è il numero di sequenze con k uni. Chiariremo in un paragrafo a parte che questo
. Dobbiamo allora calcolare
numero è il coe¢ ciente binomiale n
k
nX
k=0
n
k pk q n k :
Questa somma vale uno ricordando la formula del binomio di Newton:
(a + b) n = n
k ak b n k :
Lo spazio probabilizzato appena introdotto è molto ricco e costituisce la base per un enorme
numero di considerazioni teoriche e di applicazioni pratiche.
Osservazione 4 Una probabilità P è de…nita su una -algebra F , non su uno spazio
come in genere si è portati a dire intuitivamente. In genere non è pericoloso fare questa
piccola confusione di linguaggio; piuttosto, in alcuni casi è utile rammentare questa speci…ca,
quando si studiano problemi avanzati con diverse -algebra in azione contemporaneamente.
1.1.10 Probabilità condizionale
Supponiamo di aver scelto una terna ( ; F; P ) per descrivere un problema concreto. Supponiamo
poi di venire a conoscenza di un’informazione aggiuntiva che prima ci era ignota,
esprimibile nel fatto che un certo evento B 2 F si è veri…cato.
Ad esempio, consideriamo nuovamente il problema della spedizione e ricezione di un
simbolo 0,1 attraverso un canale di comunicazione, in cui inizialmente introduciamo lo schema
( ; F; P ) quando non sappiamo né che simbolo è stato trasmesso né quale è stato ricevuto.
Ricordiamo che è l’insieme composto dai quattro elementi (0; 0) ; (0; 1) ; (1; 0) ; (1; 1). In