Dispense

5.7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI STOCASTICHE 309
Osservazione 73 Ecco i calcoli:
exp 2
Z x b (t)
dt = Z 2
0 (t) 2 (x) f(x)
Z x b (t)
2 dt = log Z 2
0 (t) 2 (x) f(x)
d 2
dx (x) f(x)
2
b (x)
2 (x) =
f(x) d
dx 2 (x) + 2 (x) d
dx f(x)
d
dx
f(x)
= 2b (x)
2 2 d
(x) + (x) log f(x) = 2b (x) :
dx
2 (x) f(x)
Si noti che possiamo giocare su molti gradi di libertà. Quindi la prima scelta che viene
in mente è
2 = costante
da cui d
dx 2 (x) = 0, 2b (x) = (x) 2 , quindi
b(x) =
2
2
d
log f (x) :
dx
Esempio 104 Se ad esempio f (x) è una gaussiana di media nulla e deviazione ,
allora
quindi
L’equazione trovata è
2
dx(t) =
f(x) = C exp
x 2
2 2
d
x
log f (x) =
dx 2
b(x) =
2
2
2
2
2 x:
2 x(t)dt + dB(t):
Chiamato il rapporto
2 2 , si trova il modello del paragrafo precedente. Controlliamo la
compatibilità dei risultati. Nel paragrafo precedente avevamo detto che la varianza era 2
2 ,
2
= 2 . Questa è la varianza qui ipotizzata.
che per = 2
2 2 diventa
2 2
2 2
Osservazione 74 Abbiamo un grado di libertà in più: possiamo scegliere la costante a
piacere. La stimiamo in modo da avere il tempo di decadimento del modello teorico pari a
quello della acf.