Dispense

306 CAPITOLO 5. SISTEMI MARKOVIANI
è una soluzione stazionaria dell’equazione di Fokker-Planck. E’la densità di probabilità, ad
ogni istante di tempo, di un processo stocastico stazionario che risolve l’equazione di¤erenziale
scritta sopra. Si può inoltre dimostrare che la densità p (x), se esiste, è l’unica soluzione del
problema precedente.
Le ultime elaborazioni dei calcoli valgono sotto l’ipotesi 2 (x) > 0. Però ragionando caso
per caso in genere si riescono ad estendere i risultati anche quando 2 (x) = 0 per certe x,
ad es. 2 (x) = 0 per x 0. Naturalmente si intenderà che la formula scritta sopra vale
nell’intervallo delle x in cui 2 (x) > 0.
5.7.1 Applicazione diretta
Un primo modo di applicare questa teoria è quello diretto: se sappiamo già che il processo
stocastico x(t) da noi esaminato soddisfa l’equazione stocastica scritta sopra, allora possiamo
simularne varie cartteristiche tramite gli strumenti precedenti. Ad esempio, supponiamo di
studiare una macromolecola immersa in un ‡uido fermo insieme a tante altre macromolecole
e supponiamo di riassumere la …sica del fenomeno nell’equazione
dx(t) = x(t)dt + dB(t)
pensando che ad ogni istante la macromolecola subisce uno spostamento dx(t) dato da due
componenti: lo spostamento dB(t) dovuto agli urti con le macromolecole circostanti, meno il
termine x(t)dt che si fa carico genericamente dell’attrito o dissipazione dovuta all’interazione
col ‡uido. Quindi l’equazione è già in nostro possesso. Possiamo scrivere l’equazione di
Fokker-Planck
@p (t; x)
@t
=
2
2
@ 2 p (t; x)
@x 2
@
+ ( xp (t; x))
@x
e tentare di simularla con programmi appositi per equazioni alle derivate parziali (in questo
caso particolarissimo si può anche risolvere esplicitamente). per lo meno, possiamo a¤ermare
che
p (x) = Z 1 exp
2
2 x2
è una soluzione stazionaria di Fokker-Planck e quindi è una densità invariante. Si noti che è
una densità gaussiana di media zero e varianza 2
2 .
Inoltre possiamo simulare le traiettorie dell’equazione del moto, ad esempio un po’rozzamente
col metodo di Eulero esplicito:
x(t + 4t) = (1 4t) x(t) + [B(t + 4t) + B (t)]
generando gli incrementi [B(t + 4t) + B (t)] come numeri gaussiani indipendenti di media
zero e varianza 4t (deviazione standard p 4t):
x[k + 1] = (1 lambda h) x[k]
dove abbiamo indicato con h il numero 4t.
+sqrt(h) sigma rnorm(1; 0; 1)