Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

Esercizio 1.ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 9.07.99Data la seguente matrice⎛A = ⎝ 5 0 1⎞0 3 2 ⎠1 2 8a) Costruirne la fattorizzazione di Cholesky (3 punti);b) Costruire la matrice trasformante che opera l’azzeramento degli elementi fuori diagonalenella prima colonna (2 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare la forma di Newton del polinomio interpolatore relativo adn + 1 nodi distinti x 0 , . . . , x n (6 punti).b) Data la seguente tabella di valori della funzione f(x) = sin x,x f(x)−3.0 −0.1411−2.0 −0.9093−1.0 −0.84151.0 0.8415scriverne il relativo polinomio interpolatore nella forma di Newton, indicando se ed eventualmentequali differenze divise presentino perdita di cifre significative (5 punti).Esercizio 3.a) Dimostrare la convergenza delle formule di Newton–Cotes generalizzate (5 punti).b) Approssimare il valore dell’integrale∫ 10x 2 dxmediante la formula dei trapezi generalizzata con 2, 3, 4 nodi (1+1+1 punti).c) Sapendo che per l’errore di quadratura vale la maggiorazionevalutare la costante C (3 punti).|I(f) − I 1,m (f)| ≤ Ch 2 ,Esercizio 4.a) Dato il problema di Cauchy{y ′ (x) = f(x, y(x))y(x 0 ) = y 0e, al variare di θ ∈ [0, 1], la famiglia di schemi numerici (detti θ–metodi){uk+1 = u k + h[θf(x k , u k ) + (1 − θ)f(x k+1 , u k+1 )]u 0 = y 0 ,determinarne l’intervallo di stabilita’ assoluta al variare di θ (4 punti);b) Dire quale é l’ordine di consistenza, sempre al variare di θ (2 punti).10