Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 12.09.11Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di Jacobi (5 punti);b) Dato il sistema lineare Ax = b, in cui la matrice A (di dimensioni n × n) abbia lastruttura a banda{ 3 se i = ja ij = 1 se i = j ± 10 altrimenti,calcolare la complessitá di una iterazione del metodo di Jacobi in funzione di n e direquante iterazioni sono necessarie perché l’errore nella norma ‖ · ‖ ∞ scenda sotto alvalore 10 −7 · ‖x (0) − ¯x‖ ∞ (2+3 punti);c) supponendo che il numero di iterazioni finale sia quello del punto precedente, dire apartire da quale valore di n il metodo di Jacobi diviene meno complesso della eliminazionedi Gauss (4 punti).Esercizio 2.(5 punti).Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle cordeEsercizio 3.a) Descrivere il metodo di approssimazione per errore quadratico minimo (4 punti);b) data la tabella di puntix iy i0.0 3.10.5 2.31.0 1.91.5 1.72.0 1.6costruirne l’approssimazione di errore quadratico minimo nella base(5 punti).φ 1 (x) = 1, φ 2 (x) = e −x .Esercizio 4.Enunciare e dimostrare il teorema di Polya (6 punti).216
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 13.09.11Esercizio 1.a) Descrivere le principali strategie di scelta delle direzioni di ricerca nei metodi di discesa(4 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convergenza in n passi per i metodi di DirezioniConiugate nel caso quadratico (6 punti).Esercizio 2.a) Descrivere il metodo di ricerca unidimensionale per bisezione, e scriverne un diagrammadi flusso o pseudocodice (3+1 punti);b) dimostrare che, se la funzione é unimodale, ad un passo generico dell’algoritmo ilminimo é contenuto nell’intervallo [a n , b n ] (3 punti).Esercizio 3.a) Descrivere i principali metodi duali per la minimizzazione vincolata di funzioni (3punti);b) enunciarne i teoremi di convergenza e dimostrare quello relativo al metodo di penalizzazione(6 punti).Esercizio 4. Scritta la forma generale di un metodo di Runge–Kutta a due stadi,a) trovare le condizioni che garantiscono il secondo ordine di consistenza (5 punti);b) posto z = hλ = x + iy, esprimere il piú esplicitamente possibile la regione di stabilitáassoluta nel piano complesso (4 punti).217
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN3) -
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x
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dove si sono indicate rispettivamen
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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che é soddisfatta a maggior ragion
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é noto dalla teoria generale che l
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SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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e la costante di contrazione richie
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