Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.b) Posto il metodo nella forma x k+1 = g(x k ), la condizione di convergenza cubica é cheg ′ (¯x) = g ′′ (¯x) = 0. A conti fatti, si hag ′ (x) = − f(x)f ′′ (x)f ′ (x) 2 ,g ′′ (x) = − f ′ (x) 2 [f(x)f ′′′ (x) + f ′ (x)f ′′ (x)] − 2f ′ (x) 2 f ′′ (x) 2f ′ (x) 4 .Il metodo di Newton soddisfa in ogni caso la condizione g ′ (¯x) = 0, mentre la secondacondizione g ′′ (¯x) = 0 é appunto soddisfatta se la radice é anche un punto di flessopoiché f(¯x) = f ′′ (¯x) = 0.Esercizio 3.b) Poiché la costruzione del polinomio di Newton non richiede di considerare i nodi conun ordine particolare, ogni permutazione degli indici dei nodi é ammissibile e portaall’unico polinomio interpolatore di f. D’altra parte, in un polinomio interpolatoredi grado n la differenza divisa f[x 0 , . . . , x n ] coincide con il coefficiente del termine digrado massimo. Di conseguenza ogni permutazione x i0 , . . . , x in dei nodi porta ad unaidentica differenza divisa f[x i0 , . . . , x in ] = f[x 0 , . . . , x n ].Esercizio 4.b) Per applicare la formula di Gauss–Legendre sull’intervallo [0, 2] occorre ricalcolare inodi, mentre i pesi restano invariati. Si hax i = t i + 1, α i = w i .A conti fatti, lavorando con otto cifre decimali, la formula di quadratura richiesta vale:I 4 (x −1/2 , 0, 2) = 0.23692689 · (0.09382015 −1/2 + 1.90617985 −1/2 )++0.47862867 · (0.46153069 −1/2 + 1.53846931 −1/2 ) + 0.56888889 · 1 ≈ 2.60441557.Il valore esatto dell’integrale é 2 √ 2 ≈ 2.82842712. In questo caso la funzione integrandanon é continua e quindi i risultati noti fin qui non permettono di dire se ci sipossa aspettare convergenza al valore esatto dell’integrale.135