Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

e poiché dal teorema delle contrazioni si ha |e k | ≤ L k |e 0 |, il numero di iterazioni Nnecessario é dato dalla condizione( 34) N≤ 10 −3ovvero, passando ai logaritmi decimali,cioé almeno 25 iterazioni.N ≥3log 1043Esercizio 3.b) La stabilitá assoluta va verificata sul problema modello linearela cui approssimazione di Heun si scrivey ′ = −λy (λ > 0)u k+1 = u k + h/2(−λu k − λ(u k − λhu k )) = (1 − hλ + h 2 λ 2 /2)u k .Delle condizioni per la stabilitá assoluta,−1 < 1 − hλ + h 2 λ 2 /2 < 1,la disuguaglianza di sinistra é sempre vera mentre quella di destra, come é immediatoverificare, fornisce la condizione h < 2/λ.Esercizio 4.a) I valori che si ottengono per i due metodi, con il massimo numero di cifre significativeutilizzabili, sono I 1,6 (f) = 1.6994 e I 2,3 (f) = 1.7115. Si noti che, utilizzando tutti inodi in cui la funzione é tabulata, nel primo caso si usa la formula su sei sottointervalli,nel secondo su tre sottointervalli.b) Nella tavola delle differenze divise non ci sono perdite di cifre significative. Tutte ledifferenze divise hanno quattro cifre esatte. Anche la differenza divisa f[x 0 , x 1 ] =f[x 5 , x 6 ] = 0.525 non presenta perdita di cifre significative, in quanto la prima cifratrascurata é zero.4