Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 31.05.12Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare la formula di rappresentazione dell’errore di interpolazione (6punti);b) si consideri l’intervallo I = [−1, 1] ed i nodi (di Chebyshev–Gauss–Lobatto, per n = 5)x j = cos jπ 5 .Tenendo conto che il polinomio di errore ω c 5(x) costruito su questi nodi é pari, e cheassume valori di modulo uguale in tutti gli estremi, si stimi in modo ottimale l’erroredi interpolazione (3 punti);c) considerato il polinomio di errore ω e 5(x) ottenuto invece con nodi equidistanti, calcolare(o stimare in qualche modo) sup |ω e 5| sugli intervalli [x 2 , x 3 ] e [x 4 , x 5 ] (2+3 punti).Esercizio 2.a) Descrivere la strategia di approssimazione per errore quadratico minimo (4 punti);b) data la tabella di puntix iy i−5.2 10.3−4.5 8.6−3.9 5.0−2.1 3.7−0.5 2.01.3 1.22.5 −1.5si costruisca la retta di errore quadratico minimo (5 punti).Esercizio 3.a) Descrivere i principi generali di costruzione ed uso delle formule di Newton–Cotessemplici e composite (4 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per le formule composite (6 punti);c) calcolare i pesi della formula di Simpson (3 punti);d) integrare mediante la formula di Simpson composita la funzione f(x) = sin x/x in[0, 2π] utilizzando una suddivisione in m = 4 sottointervalli (3 punti).222