Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 08.02.10Esercizio 1.a) Descrivere i principali metodi, diretti o iterativi, per la soluzione di sistemi lineari conmatrice definita positiva (3 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di Jacobi (5 punti);c) fornire un esempio (anche 2 × 2) di matrice simmetrica e definita positiva, ma non adiagonale dominante (2 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde (5 punti).b) Individuare un intervallo utile per applicare il metodo delle corde all’equazione√ x + 4 sin x = 0nell’intorno della prima radice positiva, e calcolare la costante di contrazione delmetodo (3 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare la formula di rappresentazione dell’errore di interpolazione (6punti);b) considerando i due nodi x 0 = −1 e x 1 = 0, maggiorare l’errore che si compie utilizzandoquesti nodi per interpolare (con grado n = 1) una funzione sull’intervallo [0, 1](3 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema di Polya (6 punti).b) Costruire la formula di quadratura che approssimi l’integrale∫ 10f(t)dtutilizzando i valori f(−1), f(0) (2 punti).c) basandosi sulla maggiorazione ottenuta nel punto 3.b, maggiorare a sua volta l’erroredi quadratura (2 punti).187