Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.c) Nel caso in cui non si operi pivotazione si ottieneA =( )1 5, L =10 51( )1 0, U =10 1( )1 5.0 1Si ha percióL −1 =( )1 0, U −1 =−10 1( )1 −50 1e di conseguenza K ∞ (L)K ∞ (U) = 121 · 36 = 4356. Poiché ‖δb‖ ∞ /‖b‖ ∞ = 10 −8 , laperturbazione relativa sulla soluzione si maggiora come ‖δx‖ ∞ /‖x‖ ∞ ≤ 4.356 · 10 −5 .Nel caso invece in cui si operi pivotazione:P A =( )10 51, L =1 5( ) ( )1 010 51, U =.0.1 10 −0.1Quindi si ha ancheL −1 =( ) ( )1 0, U −1 0.1 51=−0.1 10 −10ed infine K ∞ (L)K ∞ (U) = 1.21 · 3117.1 = 3771.7. In questo secondo caso si ottiene‖δx‖ ∞ /‖x‖ ∞ ≤ 3.772 · 10 −5 .Esercizio 3.b) Si ha:g ′ (x) = 1 −f ′ (x)1 + f(x) 2ed il coefficiente di contrazione é ovviamente il massimo modulo di questa quantitá.Se f ′ (x) > 0, il secondo termine del secondo membro é positivo e quindi g ′ (x) < 1.D’altra parte si ha anchef ′ (x)1 + f(x) 2 < f ′ (x)e quindi g ′ (x) > 1 − f ′ (x), da cui si ottiene g ′ (x) > −1 se f ′ (x) < 2.129