Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 14.02.05Esercizio 1.a) Descrivere le varie strategie di ricerca unidimensionale utilizzate nei metodi di discesa(4 punti);b) dimostrare che il metodo del gradiente con passo fisso applicato a funzioni quadratichedefinite positive é convergente, indicando anche una maggiorazione esplicita per ilpasso β (5 punti).Esercizio 2.a) Descrivere il metodo del rilassamento proiettato ed enunciarne il teorema di convergenza(4 punti);b) scrivere il metodo del rilassamento proiettato per la funzionef(x 1 , x 2 ) = 3x 2 1 + x 2 2 + x 1 x 2 + 4con il vincolo(3 punti).{(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : 1 ≤ x 2 ≤ 2}Esercizio 3.Data l’equazione differenziale y ′ = f(x, y) ed il metodo ad un passo[u k+1 = u k + h f(x k , u k ) + h (fx (x k , u k ) + f y (x k , u k )f(x k , u k ) )]2a) dimostrare che il metodo é consistente con ordine due (3 punti);c) dimostrare che é zero–stabile (4 punti).c) trovarne l’intervallo di stabilitá assoluta (4 punti).Esercizio 4.a) Esporre la approssimazione per differenze seconde centrate della equazione di Poisson(4 punti);b) riformulare le nozioni di consistenza e stabilitá per equazioni lineari stazionarie (4punti).107