Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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Esercizio 4.b) La formula richiesta utilizza nove nodi (h = 1/4), in corrispondenza dei quali lafunzione assume i valorif(−1) = f(1) = 0,(f − 3 ) ( √3= f = 1 −4 4)9√716 = 4 ≈ 0.661438,(f − 1 ) ( √1= f = 1 −2 2)1 √34 = 2 ≈ 0.866025,(f − 1 ) ( √1= f = 1 −4 4)1√1516 = ≈ 0.968246.4Con sei cifre decimali, la formula di quadratura richiesta si scrive quindiI 2,4 ( √ 1 − x 2 , −1, 1) = 1 (4 · 0.661438 + 2 · 0.866025 + 4 · 0.968246 + 2+12+4 · 0.968246 + 2 · 0.866025 + 4 · 0.661438) ≈ 1.541798.Il valore esatto é π/2 ≈ 1.570796.140
ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 06.04.07Esercizio 1.a) Descrivere il metodo della fattorizzazione LU per la soluzione dei sistemi lineari (3punti);b) dimostrare che la matrice L é formata dai moltiplicatori (6 punti).Esercizio 2.a) Descrivere i metodi di Jacobi e Gauss–Seidel per la soluzione di sistemi lineari (3punti);b) enunciarne i risultati di convergenza e dimostrare quello relativo al metodo di Jacobi(6 punti);c) scrivere esplicitamente la condizione di contrattivitá nella norma ‖ · ‖ 1 , sempre per ilmetodo di Jacobi (4 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema sull’ordine di convergenza dei metodi di tipo x k+1 =g(x k ) ed applicarlo al metodo di Newton (5+2 punti);b) dato un polinomio p(x) che ha tutti gli zeri reali e distinti, dire come si puó sceglierel’approssimazione iniziale per un metodo di Newton in modo che converga sicuramentead una delle due radici estreme (4 punti);c) data l’equazione algebricax 3 + 3x 2 − 2x + 5 = 0scrivere un metodo di Newton per la sua soluzione in modo da minimizzare il numerodi operazioni per iterazione (3 punti).141
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x
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dove si sono indicate rispettivamen
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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é noto dalla teoria generale che l
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