Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) Come si verifica immediatamente, per la fattorizzazione di Doolittle A = LU si haL =( )1 05 1, U =mentre per quella di Cholesky A = HH t si ottieneH =( )1 0.5 10( )1 5,0 100c) Osserviamo intanto che se la matrice A é fattorizata nel prodotto BC, allora nellasoluzione dei due sistemi lineariBz = b , Cx = zpossiamo stimare la propagazione della perturbazione ‖δb‖/‖b‖ successivamente su ze su x mediante le maggiorazioni‖δz‖‖z‖ ≤ K(B)‖δb‖ ‖b‖‖δx‖‖x‖ ≤ K(C)‖δz‖ ‖z‖ ≤ K(C)K(B)‖δb‖ ‖b‖da cui si vede che il condizionamento associato alla soluzione dei due sistemi lineari éil prodotto dei numeri di condizionamento dei fattori B e C. Osserviamo ancora chequesta stima mostra come nel procedimento di fattorizzazione e successiva soluzionedei due sistemi, il condizionamento (a meno di essere nella fortunata quanto improbabilesituazione in cui K(B) = K(C) = 1) non puó che peggiorare. Infatti, poichéA −1 = C −1 B −1 , per la submoltiplicativitá della norma matriciale si haK(A) = ‖A‖ ‖A −1 ‖ = ‖BC‖ ‖(BC) −1 ‖ ≤ ‖B‖ ‖C‖ ‖C −1 ‖ ‖B −1 ‖ = K(B)K(C).Passando ai numeri, nel caso della fattorizzazione LU si ottieneL −1 =(1)0−5 1, U −1 =( )1 −5/100,0 1/100e di conseguenza, lavorando nella norma matriciale ‖ · ‖ ∞ ,K ∞ (L) = 36 , K ∞ (U) = 105.58