Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 15.04.09Esercizio 1.a) Descrivere il Metodo di Eliminazione di Gauss per un sistema lineare Ax = b e dimostrarela possibilitá di fattorizzare (a meno di una opportuna permutazione di righeP ) la matrice A nella forma LU (3+5 punti);b) dato il sistema lineare:{ x1 − 3x 2 + x 3 = −1−3x 1 + 5x 2 + 10x 3 = 125x 1 + x 2 − 3x 3 = 3costruire esplicitamente le matrici L, U, P nel corso del MEG (4 punti).Esercizio 2.a) Dato un metodo iterativo generico nella forma x k+1 = T (x k ), e denotandone conL T < 1 la costante di contrazione, maggiorare l’errore della iterazione k–esima nel casoche siano noti (o stimabili) rispettivamente l’errore iniziale ‖x 0 − ¯x‖ o l’aggiornamento‖x k − x k−1 ‖ (2+2 punti);b) applicare il metodo di Jacobi al sistema lineare dell’esercizio precedente, riscrivendole stime del punto a) con la costante di contrazione effettiva nella norma ‖ · ‖ ∞ (4punti)Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema sull’ordine di convergenza per i metodi iterativinella forma x k+1 = g(x k ) ed applicarlo al metodo di Newton (5+2 punti);b) dato un metodo iterativo per l’equazione f(x) = 0, nella formax k+1 = x k + αf(x k ) βindividuare delle scelte dei parametri α e β che permettano la convergenza del metodoin caso di una radice ¯x doppia, ed applicare il metodo cosí ottenuto all’equazione(sin 2x − π )− sin x = 02intorno alla radice ¯x = π/2, indicando una scelta corretta dei parametri (possibilmentesenza ricorrere alla conoscenza della radice) (4+4 punti).168