Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 3.b) I nodi ed i pesi, calcolati con sei decimali e riportati all’intervallo [0, π], sono:x 0 = 0.147374, α 0 = 0.372164x 1 = 0.724971, α 1 = 0.751829x 2 = 1.570796, α 2 = 0.893609x 3 = 2.416621, α 3 = 0.751829x 4 = 2.994219, α 4 = 0.372164ed in conseguenza di questo il valore della quadratura é (sempre con sei decimali)I 4 = 2.000003.Esercizio 4.b) Appplicando il metodo di Crank–Nicolson al sistema si ottiene:{uk+1 = u k + h 2 [v k + v k+1 ]v k+1 = v k + h 2 [−u k − u k+1 ],che messo in forma di sistema lineare dá{uk+1 − h 2 v k+1 = u k + h 2 v kh2 u k+1 + v k+1 = − h 2 u k + v k .Quadrando membro a membro come suggerito, si ha{u 2 k+1 − hu k+1v k+1 + h24 v2 k+1 = u2 k + hu kv k + h24 v2 kh 24 u2 k+1 + hu k+1v k+1 + vk+1 2 = h24 u2 k − hu kv k + vk2ed infine, sommando le due equazioni,) (1 + h2(u 2 k+1 + v 24k+1) =) (1 + h2(u 2 k + v 24k).32