Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) La prima condizione sufficiente di convergenza é la dominanza diagonale stretta dellamatrice A del sistema, che richiede |α| > 1. La seconda condizione é la positivitá diA (condizione applicabile in questo caso visto che la matrice é simmetrica). Poichéa 11 = 2 > 0, si tratta di verificare che anche il determinante sia positivo. Si ha|A| = 2α − 1e quindi la matrice A é definita positiva se e solo se α > 1/2 (si noti che questacondizione é piú debole della precedente se α > 0, ma non permette valori negativi).Infine, la condizione necessaria e sufficiente di convergenza é che il raggio spettraledella matrice di iterazione soddisfi ρ(B) < 1. Con le convenzioni usuali, la matrice diiterazione é data da B = −(D + E) −1 F , ovvero, con i dati dell’esercizio,(2 0B = −1 α) −1 ( )0 1=0 0⎛⎝ − 1 2012α− 1 α⎞( )⎠ 0 10 0⎛= ⎝ 0 − 1 2⎠ .012αI due autovalori di B sono quindi λ 1 = 0 e λ 2 = 1/(2α) ed il metodo é convergente see solo se |α| > 1/2.Esercizio 3.b) La tabella dei valori della funzione ée le differenze divise richieste valgonox i f(x i )1 1.0002 1.4143 1.7324 2.000f[x 0 , x 1 ] = 0.414, f[x 1 , x 2 ] = 0.318, f[x 2 , x 3 ] = 0.268f[x 0 , x 1 , x 2 ] = −0.048(∗),f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] = 0.007(∗∗)f[x 1 , x 2 , x 3 ] = −0.025(∗)dove si é indicato con (∗) e (∗∗) la perdita rispettivamente di una cifra e di due cifredecimali.c) Tra i due nodi centrali, l’errore di interpolazione si puó maggiorare comemax |f (4) (x)| max |ω 3(x)|x∈[1,4] x∈[2,3]|f(x) − Π 3 (x)| ≤.4!146⎞