Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 05.02.01Esercizio 1.a) Esporre il metodo di eliminazione di Gauss con pivoting parziale e totale (5 punti).b) Calcolarne la complessitá, sempre nei due casi (4 punti).Esercizio 2.a) Dimostrare la esistenza ed unicitá del polinomio interpolatore (6 punti).b) Enunciare il teorema di maggiorazione dell’errore e discutere le varie possibilita’ diinfittimento dei nodi (3 punti).Esercizio 3.a) Dimostrare l’ordine di precisione delle formule di quadratura di Gauss (6 punti).b) Approssimare l’integrale∫ π0sin xdxmediante una formula di Gauss–Legendre a 5 nodi (3 punti).Esercizio 4.a) Dimostrare la stabilita’ assoluta del metodo di Crank–Nicolson per Equazioni DifferenzialiOrdinarie (4 punti).b) Dato il sistema differenziale (oscillatore armonico){x ′ (t) = y(t)y ′ (t) = −x(t)e la sua approssimazione di Crank–Nicolson (u k , v k ), dimostrare che l’approssimazioneconsiderata conserva la norma euclidea, ovvero che u 2 k+1 + v2 k+1 = u2 k + v2 k(5 punti).Suggerimento: scrivere il sistema lineare che definisce (u k+1 , v k+1 ) e quadrare membro amembro.31