Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

dove si sono indicate rispettivamente con (∗) e (∗∗) la perdita di una e di due cifresignificative.c) Si puó procedere per induzione. Notiamo intanto che la condizione|f[x j , x j+1 ]| ≤ Lé sicuramente soddisfatta, poiché il primo membro non é altro che un rapporto incrementaledi f. D’altra parte, se per ogni j si ha|f[x j , . . . , x j+k−1 ]| ≤2 k−2 L(k − 1)!h k−2 ,allora dalla definizione di differenza divisa si ottiene la maggiorazione|f[x j , . . . , x j+k ]| ≤ |f[x j, . . . , x j+k−1 ]| + |f[x j+1 , . . . , x j+k ]|kh≤≤ 2 2 k−2 Lkh (k − 1)!h k−2 = 2k−1 Lk!h k−1 .Esercizio 4. Applicando le formule di quadratura indicate e calcolando f(x) = 1/x conquattro cifre significative, si ha per la formula del punto centrale (h = 2):I 0 = 4f(3) = 1.3332mentre per la formula dei trapezi, rispettivamente semplice (h = 4) e composita (h = 1):I 1 = 2[f(1) + f(5)] = 2.4I 1,4 = 1 2 f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + 1 f(5) = 1.68332e per la formula di Simpson semplice (h = 2) e composita (h = 1):I 2 = 2 [f(1) + 4f(3) + f(5)] = 1.68883I 2,2 = 1 [f(1) + 4f(2) + 2f(3) + 4f(4) + f(5)] = 1.6222.3Ricordiamo che il valore esatto é I = log 5 ≈ 1.6094.49