Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 07.07.03Esercizio 1.a) Esporre il metodo di eliminazione di Gauss con pivoting parziale e totale (5 punti);b) Derivare dal MEG la fattorizzabilitá LU, a meno di permutazioni di righe, per unamatrice nonsingolare (3 punti).Esercizio 2. Dimostrare che se f é una funzione crescente e convessa che ha lo zero semplice¯x, il metodo di Newton applicato alla funzione f converge per ogni approssimazioneiniziale x 0 > ¯x (6 punti).Suggerimento: Dimostrare inizialmente che la successione x k generata dal metodo é monotonae limitata, e poi che ogni suo limite é necessariamente uno zero di f.Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di esistenza ed unicitá del polinomio interpolatorenella forma di Lagrange (5 punti);b) scrivere la base di Lagrange relativa ai nodi x 0 = −h, x 1 = 0, x 2 = h (3 punti);c) approssimare mediante questi nodi di interpolazione il valore cos(π/4), ponendo h =π/2 (3 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema relativo al grado di precisione delle formule diquadratura di Gauss–Legendre (6 punti);b) Appossimare∫ 1−1|x|dxcon le formule di Gauss–Legendre a 3, 4, 5 punti e calcolare l’errore di quadratura.Cosa garantisce che le approssimazioni convergano al risultato esatto? (5 punti).66
SoluzioniEsercizio 3.c) Si ha Π 2 (π/2) = 3/4 (il valore esatto é cos π/2 = √ 2/2).Esercizio 4.b) Si ottiene, con sei decimali, I 2 = 0.860664, I 3 = 1.042535 e I 4 = 0.944850 contro unvalore esatto di I = 1. Nonostante |I 4 − I| > |I 3 − I|, ci si aspetta la convergenza dellequadrature numeriche al valore esatto: infatti le quadrature gaussiane soddisfano leipotesi del teorema di Polya, e la funzione |x| é continua.67
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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