Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 04.09.00Esercizio 1.a) Enunciare i principali risultati di sensibilita’ alle perturbazioni nei sistemi lineari edare la dimostrazione nel caso piu’ semplice (5 punti).b) Dato il sistema lineare {x1 + 3x 2 = 10.442−10x 1 − 28x 2 = 5.925,e dopo aver specificato una norma opportuna, si calcoli il suo numero di condizionamentoK(A) e si maggiori l’errore relativo ‖δx‖/‖x‖ sulla soluzione, sapendo che ognicomponente del termine noto é affetta da un errore non maggiore di 10 −3 (4 punti).Esercizio 2.Dimostrare la formula di interpolazione di Newton (6 punti).Esercizio 3.a) Dimostrare che le formule di quadratura di Gauss hanno sempre pesi positivi (4 punti).b) Approssimare l’integrale improprio∫ ∞0e −x dxmediante una formula di Gauss–Legendre a 5 punti sull’intervallo [0, 10]. Dire qualepercentuale dell’errore globale é dovuta al fatto di operare su un intervallo finito (3+2punti).Esercizio 4.a) Dimostrare la convergenza del metodo di Eulero per Equazioni Differenziali Ordinarie(6 punti).b) Dato il problema di Cauchy {y ′ (x) = y(x)y(0) = 1con x ∈ [0, 1], trovare il massimo valore del passo h per cui si abbia |y(kh)−u k | < 10 −3 ,(h = 1/N, k = 1, . . . , N), con u k dato rispettivamente dalla approssimazione di Euleroe da quella di Heun (3+3 punti).Suggerimento: utilizzare il fatto che l’errore massimo si ha per k = N (Si saprebbe motivarequesta affermazione?).27