Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 10.06.02Esercizio 1.a) Descrivere l’algoritmo di fattorizzazione LU senza pivoting (4 punti);b) dimostrare la fattorizzabilitá di una matrice nonsingolare a meno di permutazioni (3punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza quadratica (o, piú in generale, diordine n) per i metodi di sostituzioni successive del tipo x k+1 = g(x k ), ed applicarloall’analisi del metodo di Newton (6 punti);b) utilizzando il risultato precedente, dimostrare che se ¯x é una radice doppia, il metodoiterativox k+1 = x k − 2 f(x k)f ′ (x k )converge con ordine quadratico se f é abbastanza regolare (5 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare la forma di Newton per il polinomio interpolatore relativo an + 1 nodi distinti x 0 , . . . , x n (6 punti);b) costruire la tavola delle differenze della funzione f(x) = 1/x, con passo h = 1 sui nodix 0 = 1, . . . , x 4 = 5. Lavorare con quattro cifre significative segnalando quali differenzedivise presentino perdita di cifre per sottrazione (4 punti);c) dimostrare che data una funzione f(x) lipschitziana, tabulata con passo costante h, siha:|f[x j , x j+1 ]| ≤ L.|f[x j , . . . , x j+k ]| ≤ 2k−1 Lk!h k−1dove L é la costante di Lipschitz di f (6 punti).Esercizio 4. Riferendosi alla situazione dell’esercizio 3.b, ed utilizzando di volta in voltai nodi necessari, approssimare∫ 5dxx1mediante le quadrature del punto centrale (semplice), dei trapezi (semplice e composita)e di Simpson (semplice e composita) (4 punti).47