Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 05.06.09Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare la formula di rappresentazione dell’errore di interpolazione (6punti);b) supponendo di interpolare la funzione f(x) = sin 2x con sei nodi equidistanti a distanzah, maggiorare l’errore di interpolazione nell’intervallo compreso tra i due nodi centrali(4 punti).Esercizio 2. Dati due nodi simmetrici x 0 = −a e x 2 = a nell’intervallo [−1, 1],a) calcolare la norma ‖ω 1 ‖ ∞ del polinomio ω 1 (x) = (x − x 0 )(x − x 1 ) se a = 1 (2 punti);b) calcolare la norma ‖ω 1 ‖ ∞ nel caso tale norma venga minimizzata, ovvero se i due nodisono nodi di Chebyshev–Gauss (3 punti);c) scegliere a in modo da massimizzare il grado di precisione di una formula di quadraturaconstruita sui due nodi considerati, e calcolare la norma ‖ω 1 ‖ ∞ per questa scelta di a(4 punti);d) scrivere le tre formule di quadratura corrispondenti a queste scelte dei nodi (3 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di Polya (6 punti);b) enunciare i principali risultati relativi alle formule di Gauss–Legendre e dimostrare ilteorema di positivitá dei pesi (5 punti);c) approssimare l’integrale∫ 20e −x dxcon le formule di quadratura ottenute nell’esercizio precedente (3 punti).171