Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 08.06.12Esercizio 1.a) Descrivere i principali metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari enunciando irelativi risultati di convergenza (4 punti);b) dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di Jacobi (5 punti);c) dato il sistema lineare{ 2x1 − 5x 2 = 10−3x 1 + x 2 = 1dire se puó essere risolto con il metodo di Jacobi, ed in caso positivo quante iterazionisono necessarie per ridurre la norma ‖·‖ ∞ dell’errore a 10 −6 volte il suo valore iniziale(3 punti).Esercizio 2. Enunciare e dimostrare il teorema sull’ordine di convergenza dei metodiiterativi per equazioni scalari, ed applicarlo al metodo di Newton (6 punti).Esercizio 3.a) Dimostrare la forma generale del polinomio di Newton e la formula delle differenzedivise (6 punti);b) data la seguente tabella di valori della funzione f(x) = e −x2 ,x f(x)−1.0 0.3679−0.5 0.77880.0 1.00.5 0.77881.0 0.3679costruire la tavola delle differenze (indicando le perdite di precisione per sottrazione)ed il polinomio di Newton (4+2 punti).Esercizio 4.a) Descrivere la strategia generale delle quadrature Gaussiane (3 punti);b) approssimare con la formula di Gauss–Legendre a quattro punti l’integrale∫ π−πsin xxdx(3 punti).224
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 08.06.12Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per i metodi di discesa in ricercaesatta (6 punti);b) enunciate le opportune ipotesi, dimostrare che il metodo di Newton soddisfa questoteorema generale (5 punti).Esercizio 2. Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza in n passi dei metodi CDper funzioni quadratiche (6 punti).Esercizio 3. Descrivere i metodi del gradiente e del rilassamento con proiezione, edenunciarne i risultati di convergenza (4 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per metodi ad un passo (6 punti);b) data, al variare di θ ∈ [0, 1], la famiglia di schemi numerici (detti θ–metodi)u k+1 = u k + h [ θf(x k , u k ) + (1 − θ)f(x k+1 , u k+1 ) ]determinarne il piú esplicitamente possibile la regione di stabilitá assoluta al variaredi θ (5 punti);c) dimostrare che tutti gli schemi di questa famiglia sono consistenti (3 punti).225
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN3) -
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x
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dove si sono indicate rispettivamen
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SoluzioniEsercizio 1.b) Occorre ver
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 3.c) Si ha Π 2
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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che é soddisfatta a maggior ragion
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é noto dalla teoria generale che l
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SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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e la costante di contrazione richie
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SoluzioniEsercizio 2.c) Con sei cif
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Se l’argomento del valore assolut
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D’altra parte, si ha∣max |f ∣
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Tenendo conto delle relazioni di si
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