Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 3.b) Ricordiamo che la condizione di stabilitá assoluta per gli schemi in questione si scrive|1 − (a 1 + a 2 )hλ + ba 2 h 2 λ 2 | ≤ 1e che per ottenere la consistenza (di primo ordine) é necessario che a 1 + a 2 = 1.Ponendo per semplicitá hλ = t, ba 2 = α, si deve quindi studiare la condizione|1 − t + αt 2 | ≤ 1,cercando un intervallo del tipo [0, ¯t] in cui essa sia soddisfatta, e massimizzando alvariare di α il valore ¯t. Consideriamo prima la disuguaglianza1 − t + αt 2 ≤ 1che é soddisfatta per 0 ≤ t ≤ 1/α = ¯t 1 . Considerando poi la seconda disuguaglianza,1 − t + αt 2 ≥ −1,si ha che essa é identicamente soddisfatta per α ≥ 1/8, ed é soddisfatta nell’intervallo[0, 1 − √ ]1 − 8α= [0, ¯t 2 ]2αaltrimenti. Ora, osserviamo che ¯t 1 é decrescente rispetto ad α. Per α < 1/8, invece, ¯t 2é crescente rispetto ad α e si ha ¯t 2 < ¯t 1 , mentre per α ≥ 1/8 formalmente puó essereposto t 2 = +∞. Si ottiene quindi che ¯t = min(¯t 1 , ¯t 2 ) viene massimizzato appunto conla scelta α = 1/8, ovvero per quanto riguarda i parametri dello schema:a 1 + a 2 = 1, ba 2 = 1 8 .80